Какой объем тела получится при вращении вокруг оси Oy фигуры, ограниченной следующими линиями:

• y = 3x - 2,
• x = 0,
• y = 1,
• y = 3?

Математика 9 класс Объем тел вращения Объём тела вращения математика 9 класс интегралы фигуры вращения ось OY ограниченные линии задачи по математике геометрия объем фигуры Новый

Для нахождения объема тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси Oy, мы будем использовать метод дисков. Давайте разберем шаги решения этой задачи.

Шаг 1: Определение границ интегрирования

Сначала необходимо определить область, ограниченную заданными линиями:

• y = 3x - 2 (прямая)
• x = 0 (вертикальная прямая, ось Oy)
• y = 1 (горизонтальная прямая)
• y = 3 (горизонтальная прямая)

Найдем точки пересечения линии y = 3x - 2 с линиями y = 1 и y = 3.

Шаг 2: Поиск точки пересечения с y = 1

1. Подставим y = 1 в уравнение: 1 = 3x - 2.
2. Решим уравнение: 3x = 3, x = 1.

Шаг 3: Поиск точки пересечения с y = 3

1. Подставим y = 3 в уравнение: 3 = 3x - 2.
2. Решим уравнение: 3x = 5, x = 5/3.

Таким образом, наши точки пересечения: (1, 1) и (5/3, 3).

Шаг 4: Определение объема

Теперь мы можем выразить объем тела вращения. Объем V определяется формулой:

V = π * ∫[a, b] (f(y))² dy,

где f(y) - функция, определяющая радиус диска, a и b - границы интегрирования по оси y.

В нашем случае:

• Границы интегрирования: y = 1 до y = 3.
• f(y) = (y + 2)/3 (обратная функция к y = 3x - 2).

Шаг 5: Подстановка в формулу

Теперь подставим все значения в формулу объема:

1. V = π * ∫[1, 3] ((y + 2)/3)² dy.

Шаг 6: Вычисление интеграла

Вычислим интеграл:

1. V = π * ∫[1, 3] (y² + 4y + 4)/9 dy.
2. V = π/9 * ∫[1, 3] (y² + 4y + 4) dy.

Шаг 7: Интегрирование

Теперь найдем интеграл:

1. ∫(y² + 4y + 4) dy = (y³/3) + (4y²/2) + 4y.
2. Подставляем границы: [1, 3].

Вычисляем:

1. Подставляем y = 3: (27/3) + (4*9/2) + 12 = 9 + 18 + 12 = 39.
2. Подставляем y = 1: (1/3) + (4/2) + 4 = 1/3 + 2 + 4 = 13/3.
3. Разница: 39 - 13/3 = (117 - 13)/3 = 104/3.

Шаг 8: Итоговый объем

Теперь подставим в формулу объема:

V = π/9 * (104/3) = (104π)/27.

Таким образом, объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси Oy, равен (104π)/27.