Для нахождения объема тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси Oy, мы будем использовать метод дисков. Давайте разберем шаги решения этой задачи.

Сначала необходимо определить область, ограниченную заданными линиями:

• y = 3x - 2 (прямая)
• x = 0 (вертикальная прямая, ось Oy)
• y = 1 (горизонтальная прямая)
• y = 3 (горизонтальная прямая)

Найдем точки пересечения линии y = 3x - 2 с линиями y = 1 и y = 3.

1. Подставим y = 1 в уравнение: 1 = 3x - 2.
2. Решим уравнение: 3x = 3, x = 1.

1. Подставим y = 3 в уравнение: 3 = 3x - 2.
2. Решим уравнение: 3x = 5, x = 5/3.

Таким образом, наши точки пересечения: (1, 1) и (5/3, 3).

Теперь мы можем выразить объем тела вращения. Объем V определяется формулой:

V = π * ∫[a, b] (f(y))² dy,

где f(y) - функция, определяющая радиус диска, a и b - границы интегрирования по оси y.

В нашем случае:

• Границы интегрирования: y = 1 до y = 3.
• f(y) = (y + 2)/3 (обратная функция к y = 3x - 2).

Теперь подставим все значения в формулу объема:

1. V = π * ∫[1, 3] ((y + 2)/3)² dy.

Вычислим интеграл:

1. V = π * ∫[1, 3] (y² + 4y + 4)/9 dy.
2. V = π/9 * ∫[1, 3] (y² + 4y + 4) dy.

Теперь найдем интеграл:

1. ∫(y² + 4y + 4) dy = (y³/3) + (4y²/2) + 4y.
2. Подставляем границы: [1, 3].

Вычисляем:

1. Подставляем y = 3: (27/3) + (4*9/2) + 12 = 9 + 18 + 12 = 39.
2. Подставляем y = 1: (1/3) + (4/2) + 4 = 1/3 + 2 + 4 = 13/3.
3. Разница: 39 - 13/3 = (117 - 13)/3 = 104/3.

Теперь подставим в формулу объема:

V = π/9 * (104/3) = (104π)/27.

Таким образом, объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси Oy, равен (104π)/27.