Какой закон распределения дискретной случайной величины X, равной числу человек с ожогами среди выбранных, можно установить, если при аварии пострадали 16 человек, из которых 4 получили ожоги, а скорая помощь доставляет по 3 человека? Также, каковы числовые характеристики этого распределения? Пожалуйста, объясните.

Математика 9 класс Вероятностные распределения и математическое ожидание закон распределения дискретная случайная величина числовые характеристики ожоги случайная величина X 9 класс математика статистика вероятностное распределение Новый

Для решения данной задачи мы можем использовать закон распределения гипергеометрической случайной величины. Давайте разберемся, почему именно этот закон подходит для нашей ситуации и каковы числовые характеристики данного распределения.

1. Определение параметров:

• Общее количество человек, пострадавших при аварии: N = 16.
• Количество человек с ожогами: K = 4.
• Количество человек, которых мы выбираем (например, скорая помощь доставляет): n = 3.

2. Формулировка задачи:

Мы хотим определить, сколько из 3 выбранных человек (n) имеют ожоги. Это и будет нашей дискретной случайной величиной X. Значения X могут быть: 0, 1, 2 или 3, в зависимости от того, сколько из выбранных человек имеют ожоги.

3. Закон распределения:

Так как мы выбираем случайным образом людей из конечной группы, где известны количество "успехов" (в данном случае, людей с ожогами), мы используем гипергеометрическое распределение. Формула для вероятности того, что в выборке из n человек будет k человек с ожогами выглядит следующим образом:

P(X = k) = (C(K, k) * C(N-K, n-k)) / C(N, n),

где:

• C(a, b) - биномиальный коэффициент, который вычисляется как a! / (b! * (a-b)!),
• K - количество "успехов" в популяции (в нашем случае, 4 человека с ожогами),
• N - общее количество (16 человек),
• n - количество выбранных (3 человека),
• k - количество "успехов" в выборке (0, 1, 2 или 3).

4. Числовые характеристики:

• Математическое ожидание (E(X)): E(X) = n * (K/N) = 3 * (4/16) = 0.75.
• Дисперсия (Var(X)): Var(X) = n * (K/N) * (1 - K/N) * ((N - n) / (N - 1)) = 3 * (4/16) * (1 - 4/16) * ((16 - 3) / (16 - 1)) = 0.75 * 0.75 * (13/15) = 0.4875.

Таким образом, мы установили, что случайная величина X подчиняется гипергеометрическому распределению, и вычислили ее числовые характеристики: математическое ожидание равно 0.75, а дисперсия составляет примерно 0.4875.