Натуральное число n называется «особенным», если произведение всех его натуральных делителей равно n2. Сколько «особенных» чисел существует в пределах неравенства 10≤n≤40?

Математика 9 класс Натуральные числа и их делители особенное число натуральное число делители произведение делителей неравенство математика задача по математике числа от 10 до 40 Новый

Для начала, определим, что такое «особенное» число. По определению, натуральное число n называется «особенным», если произведение всех его натуральных делителей равно n².

Рассмотрим, как вычисляется произведение всех делителей числа n. Если число n имеет d(n) делителей, то произведение всех делителей можно выразить как:

Произведение делителей = n^(d(n)/2).

Таким образом, для того чтобы число n было «особенным», должно выполняться следующее равенство:

n^(d(n)/2) = n².

Это равенство можно упростить:

d(n)/2 = 2,

откуда следует, что d(n) = 4.

Таким образом, «особенное» число - это число, у которого ровно 4 делителя.

Теперь определим, какие числа имеют ровно 4 делителя. Существует два случая:

• Число n является квадратом простого числа, т.е. n = p², где p - простое число. В этом случае делителями будут 1, p, p², и еще раз 1 (итого 3 уникальных делителя).
• Число n является произведением двух различных простых чисел, т.е. n = p1 * p2, где p1 и p2 - различные простые числа. В этом случае делителями будут 1, p1, p2, и p1 * p2 (итого 4 уникальных делителя).

Теперь найдем все «особенные» числа в диапазоне 10 ≤ n ≤ 40:

1. Рассмотрим числа, которые являются произведением двух различных простых чисел:
• 2 * 3 = 6 (не входит в диапазон)
• 2 * 5 = 10 (входит в диапазон)
• 2 * 7 = 14 (входит в диапазон)
• 2 * 11 = 22 (входит в диапазон)
• 2 * 13 = 26 (входит в диапазон)
• 2 * 17 = 34 (входит в диапазон)
• 3 * 5 = 15 (входит в диапазон)
• 3 * 7 = 21 (входит в диапазон)
• 3 * 11 = 33 (входит в диапазон)
• 5 * 7 = 35 (входит в диапазон)
• 5 * 11 = 55 (не входит в диапазон)
2. Таким образом, числа, которые являются произведением двух различных простых чисел в диапазоне 10 ≤ n ≤ 40: 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35.

Теперь подсчитаем количество «особенных» чисел в диапазоне 10 ≤ n ≤ 40:

Итак, «особенные» числа: 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35. Всего таких чисел 9.

Ответ: В пределах неравенства 10 ≤ n ≤ 40 существует 9 «особенных» чисел.