Найдите натуральные числа а и b, такие что НОК(а, b) + НОД(а, b) = a + b + 14. Каковы значения НОК(а, b)? Если есть несколько вариантов, укажите их в любом порядке, разделяя запятой.

Математика 9 класс НОК и НОД натуральных чисел математика НОК НОД натуральные числа уравнение решение значения НОК задачи по математике математические свойства Новый

Чтобы решить задачу, давайте начнем с определения, что такое НОК (наименьшее общее кратное) и НОД (наибольший общий делитель). Для любых двух натуральных чисел a и b выполняется следующее соотношение:

НОК(a, b) * НОД(a, b) = a * b

Теперь вернемся к нашему уравнению:

НОК(a, b) + НОД(a, b) = a + b + 14

Мы можем выразить НОК через НОД:

НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b)

Подставим это выражение в уравнение:

(a * b) / НОД(a, b) + НОД(a, b) = a + b + 14

Теперь обозначим НОД(a, b) как d. Тогда a и b можно выразить как:

• a = d * m
• b = d * n

где m и n - взаимно простые числа (то есть НОД(m, n) = 1). Подставим это в уравнение:

НОК(a, b) = (d * m * d * n) / d = d * m * n

Теперь у нас есть:

d * m * n + d = d * m + d * n + 14

Упростим уравнение:

d * (m * n + 1) = d * (m + n) + 14

Теперь разделим обе стороны на d (при условии, что d не равно 0):

m * n + 1 = m + n + 14/d

Теперь нам нужно найти такие натуральные числа d, m и n, чтобы это уравнение выполнялось. Попробуем подбирать значения d. Начнем с d = 1:

m * n + 1 = m + n + 14

Перепишем уравнение:

m * n - m - n = 13

Добавим 1 к обеим сторонам:

(m - 1)(n - 1) = 14

Теперь рассмотрим все пары натуральных чисел, произведение которых равно 14:

• (1, 14)
• (2, 7)
• (7, 2)
• (14, 1)

Теперь найдём соответствующие значения m и n:

• m - 1 = 1, n - 1 = 14 → m = 2, n = 15
• m - 1 = 2, n - 1 = 7 → m = 3, n = 8
• m - 1 = 7, n - 1 = 2 → m = 8, n = 3
• m - 1 = 14, n - 1 = 1 → m = 15, n = 2

Теперь подставим m и n обратно в a и b:

• Для (2, 15): a = 1, b = 14 → НОК(1, 14) = 14
• Для (3, 8): a = 3, b = 8 → НОК(3, 8) = 24
• Для (8, 3): a = 8, b = 3 → НОК(8, 3) = 24
• Для (15, 2): a = 15, b = 2 → НОК(15, 2) = 30

Теперь, если мы соберем все полученные значения НОК, то у нас получится:

14, 24, 30

Итак, ответ: НОК(a, b) может быть 14, 24, 30.