Чтобы найти значение выражения x * sqrt(x^2 + 16x + 64), начнем с упрощения подкоренного выражения x^2 + 16x + 64.

1. Обратите внимание, что x^2 + 16x + 64 является квадратом двучлена. Мы можем разложить его на множители:

• Для этого найдем корни уравнения x^2 + 16x + 64 = 0. Используем формулу для нахождения корней:
• Корни уравнения находятся по формуле: x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 16, c = 64.
• Подставляем значения: x = (-16 ± sqrt(16^2 - 4 * 1 * 64)) / (2 * 1).
• Считаем дискриминант: 16^2 - 4 * 1 * 64 = 256 - 256 = 0.
• Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень: x = -16 / 2 = -8.

2. Таким образом, x^2 + 16x + 64 = (x + 8)^2. Теперь мы можем переписать исходное выражение:

x * sqrt(x^2 + 16x + 64) = x * sqrt((x + 8)^2).

3. Теперь воспользуемся свойством квадратного корня. Мы знаем, что sqrt(a^2) = |a|, где |a| - модуль числа a. Таким образом:

sqrt((x + 8)^2) = |x + 8|.

4. Теперь подставим это в наше выражение:

x * |x + 8|.

5. Значение выражения теперь зависит от знака x + 8. Рассмотрим два случая:

• Если x + 8 ≥ 0 (то есть x ≥ -8),то |x + 8| = x + 8.
• Если x + 8 < 0 (то есть x < -8),то |x + 8| = -(x + 8) = -x - 8.

6. Подставим в выражение оба случая:

• Для x ≥ -8: x * |x + 8| = x * (x + 8) = x^2 + 8x.
• Для x < -8: x * |x + 8| = x * (-x - 8) = -x^2 - 8x.

Таким образом, мы получили два разных выражения в зависимости от значения x.

Если вам нужно подставить конкретное значение x, вы можете использовать одно из этих выражений в зависимости от того, удовлетворяет ли оно условию x ≥ -8 или x < -8.