Теорема косинусов является важным инструментом в геометрии, особенно при работе с треугольниками. Она позволяет находить длины сторон треугольника или углы, если известны другие параметры. Давайте рассмотрим несколько задач на эту тему.

В треугольнике ABC известны длины сторон: AB = 7 см, AC = 5 см, и угол A = 60 градусов. Найдите длину стороны BC.

1. Запишем формулу теоремы косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C), где c — искомая сторона, a и b — известные стороны, C — угол между ними.
2. В нашем случае:
   • AB = c = BC
   • AC = a = 5 см
   • AB = b = 7 см
   • угол A = C = 60 градусов.
3. Подставим известные значения в формулу: BC^2 = 5^2 + 7^2 - 2 * 5 * 7 * cos(60°).
4. Вычислим:
   • 5^2 = 25
   • 7^2 = 49
   • cos(60°) = 0.5
   • 2 * 5 * 7 * 0.5 = 35.
5. Теперь подставляем в формулу: BC^2 = 25 + 49 - 35 = 39.
6. Следовательно, BC = √39 ≈ 6.24 см.

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 8 см, AC = 6 см, и BC = 10 см. Найдите угол A.

1. Используем ту же формулу теоремы косинусов, но теперь мы ищем угол: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc), где a = BC, b = AC, c = AB.
2. Подставим известные значения: cos(A) = (6^2 + 8^2 - 10^2) / (2 * 6 * 8).
3. Вычислим:
   • 6^2 = 36
   • 8^2 = 64
   • 10^2 = 100
   • 36 + 64 - 100 = 0.
4. Теперь подставляем в формулу: cos(A) = 0 / (2 * 6 * 8) = 0.
5. Следовательно, A = 90 градусов, так как косинус 90 градусов равен 0.

Эти задачи помогают закрепить понимание теоремы косинусов и её применения в различных ситуациях. Практикуйтесь, и у вас всё получится!