Образующая усечённого конуса равна 17, радиусы оснований равны 21 и 5. Как найти объем и площадь боковой и полной поверхности усечённого конуса?

Пожалуйста, можно полное решение с рисунком и данными!

Математика 9 класс Усечённый конус усеченный конус объём усечённого конуса площадь боковой поверхности площадь полной поверхности радиусы оснований математическое решение геометрия формулы для усеченного конуса Новый

Для решения задачи о нахождении объема и площади боковой и полной поверхности усечённого конуса, давайте разберёмся с формулами и данными, которые у нас есть.

Данные:

• Образующая (l) = 17
• Радиус нижнего основания (R) = 21
• Радиус верхнего основания (r) = 5

1. Объем усечённого конуса:

Формула для нахождения объема (V) усечённого конуса выглядит так:

V = (1/3) * π * h * (R² + R * r + r²),

где h — высота усечённого конуса. Чтобы найти высоту, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, так как образующая, высота и разница радиусов образуют прямоугольный треугольник.

2. Находим высоту (h):

Разница радиусов оснований:

ΔR = R - r = 21 - 5 = 16.

Теперь, используя теорему Пифагора:

l² = h² + (ΔR)².

Подставим известные значения:

17² = h² + 16².

289 = h² + 256.

h² = 289 - 256 = 33.

h = √33 ≈ 5.74.

3. Теперь можем найти объем:

V = (1/3) * π * h * (R² + R * r + r²).

Подставим значения:

V = (1/3) * π * √33 * (21² + 21 * 5 + 5²).

V = (1/3) * π * √33 * (441 + 105 + 25) = (1/3) * π * √33 * 571.

4. Площадь боковой поверхности:

Формула для нахождения площади боковой поверхности (Sб) усечённого конуса:

Sб = π * (R + r) * l.

Подставим значения:

Sб = π * (21 + 5) * 17 = π * 26 * 17 = 442π.

5. Площадь полной поверхности:

Формула для нахождения полной площади поверхности (Sп) усечённого конуса:

Sп = Sб + S1 + S2,

где S1 и S2 — площади оснований.

Площадь нижнего основания (S1) = π * R² = π * 21² = 441π.

Площадь верхнего основания (S2) = π * r² = π * 5² = 25π.

Теперь подставим в формулу:

Sп = 442π + 441π + 25π = 908π.

Итак, окончательные результаты:

• Объем усечённого конуса: V = (1/3) * π * √33 * 571.
• Площадь боковой поверхности: Sб = 442π.
• Площадь полной поверхности: Sп = 908π.