Для нахождения экстремумов функции y = 2x^3 - 3x^2 - 1, нам нужно выполнить несколько шагов. Экстремумы функции находятся в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Давайте последовательно пройдем через этот процесс.

Сначала вычислим первую производную функции y по x:

• Производная от 2x^3 равна 6x^2.
• Производная от -3x^2 равна -6x.
• Производная от -1 равна 0.

Таким образом, первая производная функции:

y' = 6x^2 - 6x.

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

6x^2 - 6x = 0.

Вынесем общий множитель:

6x(x - 1) = 0.

Теперь решим это уравнение:

• 6x = 0, что дает x = 0.
• x - 1 = 0, что дает x = 1.

Таким образом, у нас есть две критические точки: x = 0 и x = 1.

Для этого нам нужно использовать вторую производную функции. Найдем её:

y'' = 12x - 6.

Теперь подставим критические точки в вторую производную:

• Для x = 0: y''(0) = 12(0) - 6 = -6 (меньше нуля), значит, в этой точке максимум.
• Для x = 1: y''(1) = 12(1) - 6 = 6 (больше нуля), значит, в этой точке минимум.

Теперь найдем значения функции в этих точках:

• y(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 - 1 = -1.
• y(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 1 = 2 - 3 - 1 = -2.

• Максимум в точке (0, -1).
• Минимум в точке (1, -2).

Таким образом, экстремумы функции y = 2x^3 - 3x^2 - 1: максимум в (0, -1) и минимум в (1, -2).