Помогите, пожалуйста, исследовать функцию f(x) = x^3 - 1.

1. Как найти области определения и значений данной функции f?
2. Как выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f:
   • а) четной или нечетной;
   • б) периодической.
3. Как вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат?
4. Как найти промежутки знакопостоянства функции f?
5. Как выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает?
6. Как найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках?
7. Как исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения (например, точка x=0 для функции f(x)=1/x и при больших (по модулю) значениях аргумента)?

Математика 9 класс Исследование функции функция f(x) = x^3 - 1 исследование функции области определения функции особенности функции чётная функция нечётная функция периодическая функция точки пересечения графика координаты точек знакопостоянство функции возрастание функции убывание функции точки экстремума максимум и минимум поведение функции характерные точки функции Новый

Давайте подробно исследуем функцию f(x) = x^3 - 1. Мы будем шаг за шагом рассматривать все необходимые аспекты.

1. Область определения и область значений

Область определения функции f(x) = x^3 - 1 — это все действительные числа, так как кубическая функция определена для любого x. Таким образом, область определения:

• Область определения: D(f) = R (все действительные числа).

Теперь найдем область значений. Кубическая функция может принимать любые значения, так как при x стремящемся к бесконечности, f(x) также стремится к бесконечности, а при x стремящемся к минус бесконечности, f(x) стремится к минус бесконечности. Следовательно:

• Область значений: Z(f) = R (все действительные числа).

2. Четность и периодичность функции

Теперь выясним, обладает ли функция особенностями:

• Функция f(x) является нечетной, если f(-x) = -f(x). Подставим:
1. f(-x) = (-x)^3 - 1 = -x^3 - 1.
2. -f(x) = -(x^3 - 1) = -x^3 + 1.
• Так как f(-x) не равно -f(x), функция нечетная.
• Функция не является периодической, так как для периодической функции должен существовать период T, при котором f(x + T) = f(x) для всех x, что не выполняется для данной функции.

3. Координаты точек пересечения с осями координат

Чтобы найти точки пересечения с осями, подставим значения:

• С осью y: f(0) = 0^3 - 1 = -1. Точка пересечения с осью y: (0, -1).
• С осью x: решим уравнение f(x) = 0:
1. x^3 - 1 = 0.
2. x^3 = 1.
3. x = 1. Точка пересечения с осью x: (1, 0).

4. Промежутки знакопостоянства

Для нахождения промежутков знакопостоянства необходимо решить неравенство f(x) > 0 и f(x) < 0:

• f(x) > 0 при x > 1.
• f(x) < 0 при x < 1.

5. Возрастание и убывание функции

Для определения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции:

• f'(x) = 3x^2.
• f'(x) = 0 при x = 0.

Теперь определим знаки производной:

• f'(x) > 0 при x > 0 (функция возрастает).
• f'(x) = 0 при x = 0 (точка минимума).
• f'(x) < 0 при x < 0 (функция убывает).

6. Точки экстремума

Мы нашли, что функция имеет минимум в точке x = 0. Вычислим значение функции в этой точке:

• f(0) = 0^3 - 1 = -1.

Таким образом, точка экстремума: (0, -1), это минимум.

7. Поведение функции в окрестности характерных точек

Рассмотрим поведение функции при x стремящемся к бесконечности и минус бесконечности:

• При x → ∞, f(x) → ∞.
• При x → -∞, f(x) → -∞.

Таким образом, функция ведет себя как типичная кубическая функция, стремясь к бесконечности в положительном направлении и к минус бесконечности в отрицательном.

Теперь мы полностью исследовали функцию f(x) = x^3 - 1. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!