Помогите пожалуйста, СРОЧНО найти частные производные функции z=arcctg(2x/3y) + ln(9y²+4x²)

Математика 9 класс Частные производные функций нескольких переменных частные производные функция z arcctg LN 9y² 4x² математика 9 класс решение задач производные функций Новый

Чтобы найти частные производные функции z = arcctg(2x/3y) + ln(9y² + 4x²), мы будем использовать правила дифференцирования для каждой части функции отдельно.

Функция z состоит из двух частей: arcctg(2x/3y) и ln(9y² + 4x²). Мы будем находить частные производные по x и y поочередно.

1. Частная производная z по x:

Для нахождения частной производной z по x, мы будем использовать правило цепочки и производные известных функций.

1. Первая часть: arcctg(2x/3y).
• Производная arcctg(u) по u равна -1/(1 + u²), где u = 2x/3y.
• Теперь найдем производную u по x: du/dx = 2/3y.
• Итак, частная производная первой части будет: -1/(1 + (2x/3y)²) * (2/3y).
2. Вторая часть: ln(9y² + 4x²).
• Производная ln(v) по v равна 1/v, где v = 9y² + 4x².
• Теперь найдем производную v по x: dv/dx = 8x.
• Частная производная второй части будет: 1/(9y² + 4x²) * (8x).

Теперь мы можем объединить обе части, чтобы получить частную производную z по x:

∂z/∂x = -1/(1 + (2x/3y)²) * (2/3y) + 1/(9y² + 4x²) * (8x).

2. Частная производная z по y:

Теперь найдем частную производную z по y, используя аналогичные шаги.

1. Первая часть: arcctg(2x/3y).
• Производная arcctg(u) по u равна -1/(1 + u²), где u = 2x/3y.
• Теперь найдем производную u по y: du/dy = -2x/(3y²).
• Частная производная первой части будет: -1/(1 + (2x/3y)²) * (-2x/(3y²)).
2. Вторая часть: ln(9y² + 4x²).
• Производная ln(v) по v равна 1/v, где v = 9y² + 4x².
• Теперь найдем производную v по y: dv/dy = 18y.
• Частная производная второй части будет: 1/(9y² + 4x²) * (18y).

Теперь объединим обе части, чтобы получить частную производную z по y:

∂z/∂y = -1/(1 + (2x/3y)²) * (-2x/(3y²)) + 1/(9y² + 4x²) * (18y).

Таким образом, мы нашли частные производные функции z по x и y. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!