Помогитеее пожалуйста!!!

1) Упростите выражения:

1. cos³a + sin³a / sin a + cos³a - sin³a / cos a
2. sin³a × (1 + ctg a) + cos³a × (1 + tg a)

2) Докажите тождества:

1. cos a / (1 - sin a) = (1 + sin a) / cos a
2. 1 - (sin a + cos a)² / (sin a × cos a - ctg a) = 2tg²a
3. sin a / (1 - cos a) = (1 + cos a) / sin a
4. tg²a - sin²a = tg²a × sin²a

Математика 9 класс Тригонометрические тождества и упрощение тригонометрических выражений упрощение выражений тригонометрические тождества математика 9 класс решение задач по тригонометрии доказательство тождеств Новый

Давайте разберем ваши задачи по порядку. Начнем с упрощения выражений.

1) Упрощение выражений:

Первое выражение: (cos³a + sin³a) / (sin a) + (cos³a - sin³a) / (cos a)

1. Для начала, вспомним формулу суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²). Здесь a = cos a, b = sin a.
2. Таким образом, cos³a + sin³a = (cos a + sin a)(cos²a - cos a sin a + sin²a).
3. Зная, что cos²a + sin²a = 1, мы можем упростить это выражение.
4. Теперь у нас есть: (cos a + sin a)(1 - cos a sin a) / sin a + (cos³a - sin³a) / cos a.
5. Упрощая, мы можем рассмотреть каждую часть отдельно и привести к общему знаменателю.

Второе выражение: sin³a × (1 + ctg a) + cos³a × (1 + tg a)

1. Используем определения: ctg a = cos a / sin a и tg a = sin a / cos a.
2. Подставим эти значения: sin³a × (1 + (cos a / sin a)) + cos³a × (1 + (sin a / cos a).
3. Упрощаем: sin³a + cos a × sin²a + cos³a + sin a × cos²a.
4. Соберем подобные члены и упростим выражение.

2) Докажите тождества:

Первое тождество: cos a / (1 - sin a) = (1 + sin a) / cos a

1. Умножим обе части на (1 - sin a)cos a.
2. Получим: cos²a = (1 + sin a)(1 - sin a).
3. Используем формулу разности квадратов: 1 - sin²a = cos²a.
4. Таким образом, тождество доказано.

Второе тождество: 1 - (sin a + cos a)² / (sin a × cos a - ctg a) = 2tg²a

1. Раскроем скобки в числителе: 1 - (sin²a + 2sin a cos a + cos²a).
2. Зная, что sin²a + cos²a = 1, получаем: 1 - (1 + 2sin a cos a) = -2sin a cos a.
3. Теперь подставим ctg a: 1 - (-2sin a cos a) / (sin a cos a - cos/sin).
4. Упрощаем и приводим к нужному виду.

Третье тождество: sin a / (1 - cos a) = (1 + cos a) / sin a

1. Умножим обе части на (1 - cos a)sin a.
2. Получим: sin²a = (1 + cos a)(1 - cos a).
3. Используем формулу разности квадратов: 1 - cos²a = sin²a.
4. Таким образом, тождество доказано.

Четвертое тождество: tg²a - sin²a = tg²a × sin²a

1. Используем определение tg a: tg²a = sin²a / cos²a.
2. Подставим это в выражение: (sin²a / cos²a) - sin²a = (sin²a / cos²a) × sin²a.
3. Упрощаем и приравниваем обе части, чтобы доказать равенство.

Если у вас есть дополнительные вопросы или что-то неясно, не стесняйтесь спрашивать!