Для того чтобы решить неравенство 2 > |x+a| + x² и выяснить, при каких значениях a оно имеет хотя бы одно положительное решение, давайте разберем шаги, которые помогут нам понять, как подойти к этой задаче.

Мы имеем неравенство:

2 > |x+a| + x²

Это неравенство можно рассматривать как ограничение для выражения |x+a| + x². Нам нужно, чтобы это выражение было меньше 2.

Рассмотрим функцию:

f(x) = |x+a| + x²

Наша задача - найти такие x, при которых f(x) < 2.

• Случай 1: x + a >= 0, тогда |x+a| = x + a.
• Случай 2: x + a < 0, тогда |x+a| = -(x + a).

В этом случае:

f(x) = (x + a) + x² = x² + x + a

Теперь нам нужно решить неравенство:

x² + x + a < 2

или:

x² + x + (a - 2) < 0

Это квадратное неравенство. Чтобы оно имело решения, дискриминант D должен быть больше или равен нулю:

D = 1 - 4*(a - 2) = 1 - 4a + 8 = 9 - 4a.

Таким образом, для существования хотя бы одного решения:

9 - 4a >= 0, отсюда a <= 9/4.

В этом случае:

f(x) = -(x + a) + x² = x² - x - a

Решаем неравенство:

x² - x - a < 2

или:

x² - x - (a + 2) < 0.

Снова находим дискриминант:

D = (-1)² - 4*1*(-(a + 2)) = 1 + 4a + 8 = 4a + 9.

Для существования хотя бы одного решения:

4a + 9 >= 0, отсюда a >= -9/4.

Теперь у нас есть два условия:

• a <= 9/4
• a >= -9/4

Таким образом, a должно удовлетворять следующему неравенству:

-9/4 <= a <= 9/4.

Неравенство 2 > |x+a| + x² имеет хотя бы одно положительное решение при значениях a в диапазоне от -9/4 до 9/4.