При каких значениях переменной дробь (x-5)(x-1)(2x²-4x) / (x-2)6(x²-1) будет принимать неотрицательные значения?

Математика 9 класс Неравенства рациональных функций дробь неотрицательные значения математика 9 уравнение переменная анализ дроби значения переменной математические выражения Новый

Чтобы определить, при каких значениях переменной дробь (x-5)(x-1)(2x²-4x) / (x-2)6(x²-1) будет принимать неотрицательные значения, необходимо проанализировать числитель и знаменатель дроби отдельно.

1. **Найдем нули числителя**:

• Числитель: (x-5)(x-1)(2x²-4x)
• Решим уравнение: (x-5)(x-1)(2x²-4x) = 0
• Нули числителя:
  • x-5 = 0 → x = 5
  • x-1 = 0 → x = 1
  • 2x²-4x = 0 → 2x(x-2) = 0 → x = 0 и x = 2

Таким образом, нули числителя: x = 0, 1, 2, 5.

2. **Найдем нули знаменателя**:

• Знаменатель: (x-2)6(x²-1)
• Решим уравнение: (x-2)6(x²-1) = 0
• Нули знаменателя:
  • x-2 = 0 → x = 2
  • x²-1 = 0 → (x-1)(x+1) = 0 → x = 1 и x = -1

Таким образом, нули знаменателя: x = -1, 1, 2.

3. **Определим знаки дроби**:

Теперь мы знаем, что дробь будет равна нулю в точках x = 0, 1, 2, 5, и она будет не определена в точках x = -1, 1, 2 (так как в этих точках знаменатель равен нулю).

4. **Построим числовую прямую**:

• Рассмотрим интервалы: (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, 2), (2, 5), (5, +∞).

5. **Определим знак дроби на каждом интервале**:

• На интервале (-∞, -1): все множители отрицательные, дробь положительна.
• На интервале (-1, 0): (x-5) отрицательный, (x-1) отрицательный, (2x²-4x) положительный, дробь отрицательна.
• На интервале (0, 1): (x-5) отрицательный, (x-1) отрицательный, (2x²-4x) положительный, дробь отрицательна.
• На интервале (1, 2): (x-5) отрицательный, (x-1) положительный, (2x²-4x) положительный, дробь отрицательна.
• На интервале (2, 5): (x-5) отрицательный, (x-1) положительный, (2x²-4x) положительный, дробь отрицательна.
• На интервале (5, +∞): все множители положительные, дробь положительна.

6. **Итог**:

Дробь будет неотрицательной в интервалах (-∞, -1) и (5, +∞) и равна нулю в точке x = 0. Однако в точках x = 1 и x = 2 дробь не определена.

Таким образом, дробь (x-5)(x-1)(2x²-4x) / (x-2)6(x²-1) будет принимать неотрицательные значения при:

• x ∈ (-∞, -1)
• x = 0
• x ∈ (5, +∞)