При каком значении параметра a прямая y=3x+a касается параболы y=4x-x^2? Найдите координаты точки касания.

Математика 9 класс Касание графиков функций парабола прямая касание значение параметра a координаты точки касания математические задачи графики функций решение уравнений Новый

Чтобы найти значение параметра a, при котором прямая y = 3x + a касается параболы y = 4x - x², нам нужно решить систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения параболы.

Сначала приравняем уравнения:

3x + a = 4x - x².

Переносим все члены в одну сторону:

x² - x + (a) = 0.

Это квадратное уравнение имеет одно решение (касание), если его дискриминант равен нулю. Дискриминант D квадратного уравнения Ax² + Bx + C равен D = B² - 4AC.

• A = 1 (коэффициент при x²),
• B = -1 (коэффициент при x),
• C = a (свободный член).

Теперь найдем дискриминант:

D = (-1)² - 4 * 1 * a = 1 - 4a.

Для касания прямая и парабола должны иметь один общий корень, следовательно, дискриминант должен быть равен нулю:

1 - 4a = 0.

Решим это уравнение:

1. 4a = 1,
2. a = 1/4.

Теперь мы знаем, что a = 1/4. Теперь найдем координаты точки касания. Подставим значение a в уравнение прямой:

y = 3x + 1/4.

Теперь подставим это уравнение в уравнение параболы:

3x + 1/4 = 4x - x².

Переносим все в одну сторону:

x² - x + 1/4 = 0.

Теперь найдем корни этого уравнения, используя дискриминант:

D = (-1)² - 4 * 1 * (1/4) = 1 - 1 = 0.

Так как дискриминант равен нулю, мы можем найти единственный корень:

x = -B / (2A) = 1 / (2 * 1) = 1/2.

Теперь найдем значение y, подставив x обратно в уравнение прямой:

y = 3(1/2) + 1/4 = 3/2 + 1/4 = 6/4 + 1/4 = 7/4.

Таким образом, координаты точки касания:

(1/2, 7/4).

Итак, значение параметра a, при котором прямая касается параболы, равно 1/4, а координаты точки касания (1/2, 7/4).