Для исследования функций на монотонность, нам необходимо найти производные этих функций и определить, где они положительны, отрицательны или равны нулю. Это поможет нам понять, на каких интервалах функции возрастают или убывают.

Давайте рассмотрим каждую функцию по отдельности.

1. Находим производную:

у' = 12 - 3х^2

2. Решаем у' = 0:

12 - 3х^2 = 0

3х^2 = 12

х^2 = 4

х = ±2

3. Определяем знаки производной:

Теперь нам нужно проверить знаки производной на интервалах, которые образуются точками х = -2 и х = 2:

• Интервал (-∞, -2): выбираем х = -3: у' = 12 - 3(-3)^2 = 12 - 27 = -15 (отрицательно)
• Интервал (-2, 2): выбираем х = 0: у' = 12 - 3(0)^2 = 12 (положительно)
• Интервал (2, +∞): выбираем х = 3: у' = 12 - 3(3)^2 = 12 - 27 = -15 (отрицательно)
4. Вывод:

Функция у = 7 + 12х - х^3 возрастает на интервале (-2, 2) и убывает на интервалах (-∞, -2) и (2, +∞).

1. Находим производную:

у' = 4х - 4х^3 = 4х(1 - х^2)

2. Решаем у' = 0:

4х(1 - х^2) = 0

х = 0 или 1 - х^2 = 0 → х = ±1

3. Определяем знаки производной:

Теперь проверим знаки производной на интервалах, образованных точками х = -1, 0 и 1:

• Интервал (-∞, -1): выбираем х = -2: у' = 4(-2)(1 - 4) = 4(-2)(-3) = 24 (положительно)
• Интервал (-1, 0): выбираем х = -0.5: у' = 4(-0.5)(1 - 0.25) = 4(-0.5)(0.75) = -1.5 (отрицательно)
• Интервал (0, 1): выбираем х = 0.5: у' = 4(0.5)(1 - 0.25) = 4(0.5)(0.75) = 1.5 (положительно)
• Интервал (1, +∞): выбираем х = 2: у' = 4(2)(1 - 4) = 4(2)(-3) = -24 (отрицательно)
4. Вывод:

Функция у = 8 + 2х^2 - х^4 возрастает на интервалах (-∞, -1) и (0, 1) и убывает на интервалах (-1, 0) и (1, +∞).

1. Находим производную:

у' = 4х^3 - 16х

2. Решаем у' = 0:

4х(х^2 - 4) = 0

х = 0 или х^2 - 4 = 0 → х = ±2

3. Определяем знаки производной:

Теперь проверим знаки производной на интервалах, образованных точками х = -2, 0 и 2:

• Интервал (-∞, -2): выбираем х = -3: у' = 4(-3)^3 - 16(-3) = -108 + 48 = -60 (отрицательно)
• Интервал (-2, 0): выбираем х = -1: у' = 4(-1)^3 - 16(-1) = -4 + 16 = 12 (положительно)
• Интервал (0, 2): выбираем х = 1: у' = 4(1)^3 - 16(1) = 4 - 16 = -12 (отрицательно)
• Интервал (2, +∞): выбираем х = 3: у' = 4(3)^3 - 16(3) = 108 - 48 = 60 (положительно)
4. Вывод:

Функция у = х^4 - 8х^2 возрастает на интервалах (-2, 0) и (2, +∞) и убывает на интервалах (-∞, -2) и (0, 2).

Таким образом, мы исследовали все три функции на монотонность и нашли интервалы, где они возрастают и убывают.