Пусть x, y, z - любые натуральные числа, при которых x + y + z = 100. Какое максимальное значение можно достичь для выражения xy + yz + xz?

Математика 9 класс Оптимизация выражений максимальное значение выражение xy + yz + xz натуральные числа сумма x + y + z задача на оптимизацию Новый

Чтобы найти максимальное значение выражения xy + yz + xz при условии, что x + y + z = 100, мы можем воспользоваться методом подбора и анализа. Давайте разберем шаги решения:

1. Запишем выражение: Нам нужно максимизировать xy + yz + xz.
2. Подставим одно из значений: Из условия x + y + z = 100 можно выразить одно из переменных, например, z = 100 - x - y.
3. Подставим z в выражение: Получаем:
   • xy + y(100 - x - y) + x(100 - x - y)
   • Это упростится до: xy + 100y - xy - y^2 + 100x - x^2 - xy
   • В итоге: 100x + 100y - x^2 - y^2 - xy
4. Упрощение: Мы видим, что выражение зависит от двух переменных x и y. Для максимизации этого выражения удобно использовать метод симметрии.
5. Равномерное распределение: Поскольку x, y, z - натуральные числа, для максимизации суммы произведений имеет смысл сделать их как можно более близкими друг к другу. Например, если x = y = z, то мы можем взять:
   • x = y = z = 33 (тогда x + y + z = 99)
   • или x = y = 34, z = 32 (тогда x + y + z = 100)
6. Подсчет значений: Давайте посчитаем для x = 34, y = 34, z = 32:
   • xy + yz + xz = 34*34 + 34*32 + 34*32 = 1156 + 1088 + 1088 = 3332
7. Проверка других вариантов: Если взять, например, x = 33, y = 33, z = 34:
   • xy + yz + xz = 33*33 + 33*34 + 33*34 = 1089 + 1122 + 1122 = 3333

Таким образом, максимальное значение выражения xy + yz + xz при условии x + y + z = 100 достигается при равномерном распределении и равно 3333.