Рассмотрим квадратный трёхчлен 𝑓(𝑥)=𝑥^2−𝑡. При каком значении 𝑡 сумма квадратов корней уравнения 𝑓(𝑓(𝑓(𝑥)))=0 равна 100?

Математика 9 класс Квадратные уравнения и их свойства математика 9 класс квадратный трехчлен сумма квадратов корней уравнение значение t f(f(f(x)))=0 квадратный корень алгебра уравнения математические задачи Новый

Для решения задачи начнем с анализа функции f(x) = x^2 - t. Это квадратный трехчлен, который имеет два корня, если дискриминант больше нуля. Дискриминант D для нашего уравнения равен:

• D = 0 - 4*(-t) = 4t.

Корни уравнения f(x) = 0 могут быть найдены по формуле:

• x1,2 = (0 ± √D) / 2 = (±√(4t)) / 2 = ±√t.

Таким образом, корни уравнения f(x) = 0 равны x1 = √t и x2 = -√t.

Теперь найдем сумму квадратов корней:

• Сумма квадратов корней = (√t)² + (-√t)² = t + t = 2t.

Теперь мы можем перейти к следующему шагу, который включает подстановку в уравнение f(f(f(x))) = 0. Сначала найдем f(f(x)):

• f(f(x)) = f(x^2 - t) = (x^2 - t)² - t = x^4 - 2tx^2 + t² - t.

Теперь найдем f(f(f(x))):

• f(f(f(x))) = f(x^4 - 2tx^2 + t² - t) = (x^4 - 2tx^2 + t² - t)² - t.

Теперь мы можем рассмотреть уравнение f(f(f(x))) = 0. Для этого нужно найти корни этого уравнения и их сумму квадратов. Однако, вместо этого, мы можем заметить, что сумма квадратов корней f(f(f(x))) = 0 будет равна 2t', где t' - значение, соответствующее t из предыдущего шага.

Итак, нам нужно найти такое значение t, чтобы:

• 2t' = 100.

Это означает, что:

• t' = 50.

Так как t' = 2t, мы можем выразить t:

• t = 50 / 2 = 25.

Таким образом, значение t, при котором сумма квадратов корней уравнения f(f(f(x))) = 0 равна 100, равно 25.