Решите, пожалуйста, задачу

Как можно определить экстремум функции z = f(x; y)?

Функция задана как z = 1 + 6x - x^2 - xy - y^2

Математика 9 класс Экстремумы функций нескольких переменных экстремум функции задача по математике z = f(x; y) решение задачи анализ функции математика 9 класс Новый

Чтобы определить экстремум функции z = f(x, y) = 1 + 6x - x^2 - xy - y^2, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найти частные производные функции.

Для того чтобы найти экстремум функции двух переменных, мы сначала находим частные производные по x и y:

• Частная производная по x:
  f_x = ∂z/∂x = 6 - 2x - y
• Частная производная по y:
  f_y = ∂z/∂y = -x - 2y
2. Приравнять частные производные к нулю.

Теперь мы приравняем каждую из частных производных к нулю и решим систему уравнений:

• 6 - 2x - y = 0
• -x - 2y = 0
3. Решить систему уравнений.

Решим второе уравнение относительно y:

• y = -0.5x

Теперь подставим значение y в первое уравнение:

• 6 - 2x - (-0.5x) = 0
• 6 - 2x + 0.5x = 0
• 6 - 1.5x = 0
• 1.5x = 6
• x = 4

Теперь подставим x = 4 в уравнение для y:

• y = -0.5 * 4 = -2

Таким образом, мы нашли точку (4, -2).

4. Определить тип экстремума.

Чтобы определить, является ли найденная точка экстремумом (минимумом или максимумом), мы используем вторые производные:

• f_xx = ∂²z/∂x² = -2
• f_yy = ∂²z/∂y² = -2
• f_xy = ∂²z/∂x∂y = -1

Теперь вычислим дискриминант D:

• D = f_xx * f_yy - (f_xy)² = (-2) * (-2) - (-1)² = 4 - 1 = 3

Так как D > 0 и f_xx < 0, это означает, что точка (4, -2) является максимумом функции.

Таким образом, мы определили, что экстремум функции z = f(x, y) достигается в точке (4, -2), и это максимум.