Сформулируйте и докажите теорему синусов.

Математика 9 класс Теорема синусов теорема синусов доказательство теоремы синусов математика 9 класс Тригонометрия свойства треугольников синусы углов геометрия учебный материал школьная программа формулы синусов Новый

Теорема синусов: В любом треугольнике отношение длины стороны к синусу противолежащего угла постоянно и равно двум радиусам описанной окружности.

Формулировка: Для треугольника ABC с сторонами a, b, c и углами A, B, C выполняется:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R, где R — радиус описанной окружности.

Доказательство:

1. Проведем высоту из угла A на сторону a, обозначим её h.
2. Тогда sin(A) = h/b, откуда h = b * sin(A).
3. Аналогично для углов B и C: h = a * sin(B) и h = c * sin(C).
4. Сравнивая выражения для h, получаем: a * sin(B) = b * sin(A) = c * sin(C).
5. Разделим каждое из равенств на sin(A), sin(B) и sin(C) соответственно, получим требуемые соотношения.

Таким образом, теорема синусов доказана.