Точка B(-4;2) и D(2;-4) являются противоположными вершинами квадрата ABCD. Каковы координаты остальных вершин квадрата и координаты точки, которая делит сторону AD пополам?

Математика 9 класс Координаты точек в пространстве координаты вершин квадрата квадрат ABCD точка делит сторону AD математика 9 класс задачи на координаты Новый

Для нахождения координат остальных вершин квадрата ABCD, зная координаты противоположных вершин B(-4;2) и D(2;-4), нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем центр квадрата.

Центр квадрата можно найти, вычислив среднее арифметическое координат противоположных вершин. Формула для нахождения центра (C) выглядит следующим образом:

• Cx = (Bx + Dx) / 2
• Cy = (By + Dy) / 2

Подставим значения:

• Cx = (-4 + 2) / 2 = -2 / 2 = -1
• Cy = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Таким образом, координаты центра квадрата C равны (-1; -1).

Шаг 2: Найдем длину стороны квадрата.

Длина стороны квадрата равна расстоянию между точками B и D. Используем формулу расстояния:

• d = √((Dx - Bx)² + (Dy - By)²)

Подставим значения:

• d = √((2 - (-4))² + (-4 - 2)²) = √((2 + 4)² + (-4 - 2)²)
• d = √(6² + (-6)²) = √(36 + 36) = √72 = 6√2

Длина стороны квадрата будет равна d / √2, чтобы найти длину стороны квадрата, делим на √2:

• Сторона квадрата = 6√2 / √2 = 6

Шаг 3: Найдем остальные вершины A и C.

Вершины A и C будут находиться на перпендикуляре к линии BD, проходящем через центр C. Поскольку угол между сторонами квадрата равен 90 градусов, мы можем использовать векторы, чтобы найти координаты этих вершин.

Вектор BD имеет координаты:

• Vx = Dx - Bx = 2 - (-4) = 6
• Vy = Dy - By = -4 - 2 = -6

Теперь найдем перпендикулярный вектор (поворот на 90 градусов):

• Vp = (Vy, -Vx) = (-6, -6)

Нормализуем этот вектор и умножим на половину длины стороны квадрата:

• Нормализация: √((-6)² + (-6)²) = √(72) = 6√2
• Нормализованный вектор: (-6/6√2, -6/6√2) = (-1/√2, -1/√2)
• Умножаем на 3 (половина стороны квадрата): (-3/√2, -3/√2)

Теперь находим координаты A и C:

• A = C + (-3/√2, -3/√2) = (-1 - 3/√2, -1 - 3/√2)
• C = C + (3/√2, 3/√2) = (-1 + 3/√2, -1 + 3/√2)

Шаг 4: Найдем координаты точки, делящей сторону AD пополам.

Сначала находим координаты точки A. Затем, чтобы найти точку, которая делит сторону AD пополам, просто находим среднее арифметическое координат A и D:

• Ax = (-1 - 3/√2), Ay = (-1 - 3/√2)
• Середина AD: ((Ax + Dx) / 2, (Ay + Dy) / 2)

Таким образом, мы нашли координаты всех вершин квадрата:

• A: (-1 - 3/√2, -1 - 3/√2)
• B: (-4, 2)
• C: (-1 + 3/√2, -1 + 3/√2)
• D: (2, -4)

Координаты точки, которая делит сторону AD пополам, будут равны:

• Середина AD: ((-1 - 3/√2 + 2) / 2, (-1 - 3/√2 - 4) / 2)

Таким образом, мы нашли все необходимые координаты.