2025-02-04 05:46:23
Ученик Ваня в компьютерной программе построил равнобедренный треугольник АВС. Длина боковой стороны ВС треугольника была равна 10 см, а угол при вершине АСВ равен 64°. К боковой стороне ВС Ваня провел высоту, которая разделила треугольник АВС на две части: треугольники ABD и ACD. Ваня предположил, что площадь треугольника ABD в 2 раза больше площади треугольника ACD. Каковы площади треугольников ABD и ACD, и был ли прав Ваня?
Математика 9 класс Площади треугольников равнобедренный треугольник площадь треугольника треугольники ABD ACD угол при вершине высота треугольника длина боковой стороны математическая задача решение задачи по математике
2025-02-04 05:46:34
Для решения задачи начнем с определения свойств равнобедренного треугольника и применения формул для вычисления площадей треугольников.
Итак, у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где боковые стороны AB и AC равны, а основание BC равно 10 см. Угол при вершине AСВ равен 64°. Для удобства обозначим высоту, проведенную из вершины A на основание BC, как AH, где H - точка пересечения высоты с основанием BC.
Так как треугольник равнобедренный, то высота AH делит основание BC на две равные части. Таким образом, BH = HC = 5 см.
Теперь найдем длину высоты AH с использованием тригонометрии. В треугольнике AHS, где S - это точка на высоте AH, мы можем использовать тангенс угла:
- tan(32°) = AH / BH,
- так как угол AСВ равен 64°, то угол AHS равен 32° (половина угла при вершине).
Теперь выразим AH:
AH = BH * tan(32°) = 5 * tan(32°).
Теперь найдем площадь треугольника ABC:
Площадь треугольника ABC можно найти по формуле:
Площадь = 1/2 * основание * высота = 1/2 * BC * AH.
Подставим значения:
Площадь ABC = 1/2 * 10 * (5 * tan(32°)) = 25 * tan(32°).
Теперь найдем площади треугольников ABD и ACD. Так как высота AH делит треугольник ABC на два равных треугольника, то площади этих треугольников равны:
- Площадь ABD = 1/2 * площадь ABC = 25 * tan(32°),
- Площадь ACD = 1/2 * площадь ABC = 25 * tan(32°).
Таким образом, площади треугольников ABD и ACD равны и составляют:
Площадь ABD = Площадь ACD = 25 * tan(32°).
Теперь вернемся к утверждению Вани. Он предположил, что площадь треугольника ABD в 2 раза больше площади треугольника ACD. Однако, как мы видим, площади этих треугольников равны.
Ответ: Площадь треугольника ABD равна площади треугольника ACD. Ваня был не прав.
