Для решения числового ребуса AB + BC + CA = 1CA, где AB, BC и CA — это двузначные числа, а A, B и C — разные цифры, давайте сначала разберем, что обозначает каждая из частей.

Обозначим:

• AB = 10A + B
• BC = 10B + C
• CA = 10C + A

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

(10A + B) + (10B + C) + (10C + A) = 1CA

Сложим все части:

10A + B + 10B + C + 10C + A = 1CA

11A + 11B + 11C = 1CA

Теперь упростим это уравнение:

11(A + B + C) = 1CA

1CA можно представить как 100 + 10C + A. Таким образом, у нас получается:

11(A + B + C) = 100 + 10C + A

Теперь перенесем A влево:

10A + 11B + 11C = 100 + 10C

И упростим это уравнение:

10A + 11B + 11C - 10C = 100

10A + 11B + C = 100

Теперь мы видим, что у нас есть уравнение с тремя переменными. Из этого уравнения мы можем выразить C:

C = 100 - 10A - 11B

Теперь, чтобы C была цифрой (от 1 до 9), необходимо, чтобы 100 - 10A - 11B находилось в пределах от 1 до 9. Это даст нам неравенства:

• 1 ≤ 100 - 10A - 11B ≤ 9

Решим первое неравенство:

100 - 10A - 11B ≥ 1

99 ≥ 10A + 11B

10A + 11B ≤ 99

Теперь решим второе неравенство:

100 - 10A - 11B ≤ 9

91 ≤ 10A + 11B

10A + 11B ≥ 91

Таким образом, у нас есть система неравенств:

• 91 ≤ 10A + 11B ≤ 99

Теперь подберем целые значения A и B, чтобы удовлетворять этим неравенствам. Поскольку A и B — это цифры, A может принимать значения от 1 до 9.

Давайте рассмотрим возможные значения для A:

1. Если A = 9, то 10*9 + 11B = 90 + 11B. Условие 91 ≤ 90 + 11B ≤ 99 дает B = 1.
2. Если A = 8, то 10*8 + 11B = 80 + 11B. Условие 91 ≤ 80 + 11B ≤ 99 дает B = 1 или 2.
3. Если A = 7, то 10*7 + 11B = 70 + 11B. Условие 91 ≤ 70 + 11B ≤ 99 дает B = 2 или 3.
4. Если A = 6, то 10*6 + 11B = 60 + 11B. Условие 91 ≤ 60 + 11B ≤ 99 дает B = 3 или 4.
5. Если A = 5, то 10*5 + 11B = 50 + 11B. Условие 91 ≤ 50 + 11B ≤ 99 дает B = 4 или 5.
6. Если A = 4, то 10*4 + 11B = 40 + 11B. Условие 91 ≤ 40 + 11B ≤ 99 дает B = 5 или 6.
7. Если A = 3, то 10*3 + 11B = 30 + 11B. Условие 91 ≤ 30 + 11B ≤ 99 дает B = 6 или 7.
8. Если A = 2, то 10*2 + 11B = 20 + 11B. Условие 91 ≤ 20 + 11B ≤ 99 дает B = 7 или 8.
9. Если A = 1, то 10*1 + 11B = 10 + 11B. Условие 91 ≤ 10 + 11B ≤ 99 дает B = 8 или 9.

Теперь подберем C для найденных A и B, чтобы они были разными и удовлетворяли условию, что две из них нечётные. После перебора возможных значений, мы можем найти, что:

Решения, удовлетворяющие всем условиям, будут следующие:

• A = 9, B = 1, C = 0 (не подходит, так как C не может быть 0)
• A = 8, B = 1, C = 0 (не подходит)
• A = 7, B = 2, C = 3 (подходит)
• A = 6, B = 3, C = 5 (подходит)
• A = 5, B = 4, C = 6 (не подходит)
• A = 4, B = 5, C = 7 (подходит)
• A = 3, B = 6, C = 8 (не подходит)
• A = 2, B = 7, C = 9 (не подходит)
• A = 1, B = 8, C = 9 (не подходит)

Таким образом, у нас есть 3 решения:

• A = 7, B = 2, C = 3
• A = 6, B = 3, C = 5
• A = 4, B = 5, C = 7

Итак, у нас есть 3 решения для данной задачи.