Для решения данной задачи воспользуемся свойствами подобия треугольников и отношениями площадей.

Дано:

• Треугольник ABC.
• Отрезки BM и AF пересекаются в точке T.
• AM = CM и ∠CAF = ∠BAF.
• AB : AC = 1 : 4.

Шаг 1: Определим отношения сторон треугольника.

Пусть AB = x, тогда AC = 4x (по условию). Обозначим BC за y. Теперь у нас есть стороны треугольника:

• AB = x
• AC = 4x
• BC = y

Шаг 2: Найдем площади треугольников.

Площадь треугольника ACB можно выразить через его стороны и угол между ними. Однако в данной задаче проще воспользоваться отношением площадей.

Поскольку AM = CM, точка M делит сторону AC пополам, то:

• AM = CM = 2x.

Так как ∠CAF = ∠BAF, то треугольники ACF и ABF подобны. Это значит, что:

• AF/AB = AC/AB = 4, следовательно, AF = 4 * AB = 4x.

Шаг 3: Найдем площади четырехугольника TFCM и треугольника ATB.

Так как точки T, F, C и M расположены в четырехугольнике, и мы знаем, что AM = CM, то площадь четырехугольника TFCM можно выразить через площади треугольников ATF и ATC:

• Площадь TFCM = Площадь ATC - Площадь ATF.

Поскольку треугольники ATF и ATB также подобны, мы можем использовать их площади для нахождения отношения:

• Площадь ATB = (1/2) * AB * h, где h - высота из точки A на сторону BC.
• Площадь TFCM = (1/2) * (AF * CM) = (1/2) * (4x * 2x) = 4x^2.

Шаг 4: Найдем отношение площадей.

Теперь мы можем найти отношение площади четырехугольника TFCM к площади треугольника ATB:

• Отношение = Площадь TFCM / Площадь ATB = 4x^2 / (1/2 * x * h) = 8x/h.

Так как h можно выразить через стороны треугольника, мы можем подставить его значение. Однако, так как в задаче не указаны конкретные значения, мы можем оставить ответ в общем виде.

Ответ: Отношение площади четырехугольника TFCM к площади треугольника ATB составляет 8x/h, где x - сторона AB, а h - высота из точки A на сторону BC.