2025-11-12 00:41:34
Вопрос 5
Школьники Вика и Серёжа готовятся к контрольной, и каждый выбирает, что учить: математику или литературу. Они не договариваются заранее и по отдельности решают:
- учить математику с вероятностью р;
- учить литературу с вероятностью 1-р.
В зависимости от их совместного выбора они получают больше баллов за тесты:
- Если оба учат математику, каждый получает +8 баллов (они помогают друг другу с формулами на контрольной).
- Если оба учат литературу, каждый получает +5 баллов (обмениваются цитатами на сочинении).
- Если один учит математику, а другой — литературу, то математик получает +4 балла (друг ему кратко пересказывает сюжет), а литературовед — +6 баллов (ему подсказывают все формулы).
Какое значение р нужно найти, чтобы в среднем баллы не зависели от выбранного предмета (то есть ожидаемые дополнительные баллы были одинаковыми)? Ответ выразите в виде десятичной дроби, округлив до сотых.
Математика 9 класс Вероятность и математическое ожидание вероятность выбора предмета математика или литература средние баллы ожидаемые баллы контрольная работа школьники Вика и Серёжа совместный выбор баллы за тесты значение р десятичная дробь
2025-11-12 00:42:06
Давайте разберем задачу шаг за шагом и найдем значение вероятности р, при котором ожидаемые баллы Вики и Серёжи будут одинаковыми, независимо от выбранного предмета.
Мы знаем, что:
- Вероятность того, что Вика и Серёжа учат математику, равна р.
- Вероятность того, что Вика и Серёжа учат литературу, равна 1 - р.
Теперь определим ожидаемые баллы для каждого случая:
- Оба учат математику:
- Вероятность: р * р = р²
- Баллы: 8 баллов для каждого, то есть 8 + 8 = 16 баллов.
- Оба учат литературу:
- Вероятность: (1 - р) * (1 - р) = (1 - р)²
- Баллы: 5 баллов для каждого, то есть 5 + 5 = 10 баллов.
- Вика учит математику, а Серёжа литературу:
- Вероятность: р * (1 - р)
- Баллы: 4 для Вики и 6 для Серёжи, то есть 4 + 6 = 10 баллов.
- Вика учит литературу, а Серёжа математику:
- Вероятность: (1 - р) * р
- Баллы: 6 для Вики и 4 для Серёжи, то есть 6 + 4 = 10 баллов.
Теперь мы можем записать ожидаемые баллы:
Ожидаемые баллы = (вероятность обоих учить математику * баллы) + (вероятность обоих учить литературу * баллы) + (вероятность Вики учить математику и Серёжи литературу * баллы) + (вероятность Вики учить литературу и Серёжи математику * баллы).
Подставим значения:
Ожидаемые баллы = р² * 16 + (1 - р)² * 10 + р * (1 - р) * 10 + (1 - р) * р * 10.
Упростим выражение:
Ожидаемые баллы = 16р² + 10(1 - 2р + р²) + 10(2р - 2р²).
Соберем все подобные члены:
Ожидаемые баллы = 16р² + 10 - 20р + 10р² + 20р - 20р² = 6р² + 10.
Теперь мы хотим, чтобы ожидаемые баллы были одинаковыми для математики и литературы:
Ожидаемые баллы для литературы = 10.
Сравниваем:
6р² + 10 = 10.
Решим уравнение:
6р² = 0.
р² = 0.
р = 0.
Однако это не является интересным значением. Теперь сравним ожидаемые баллы для математики и литературы:
Ожидаемые баллы для математики = 16р² + 10(1 - 2р + р²) = 16р² + 10 - 20р + 10р².
Сравниваем:
16р² + 10 - 20р + 10р² = 10.
Собираем все члены:
26р² - 20р = 0.
р(26р - 20) = 0.
Таким образом, р = 0 или 26р - 20 = 0.
Решим второе уравнение:
26р = 20,
р = 20/26 = 10/13 = 0.769.
Таким образом, значение р, при котором в среднем баллы не зависят от выбранного предмета, равно 0.77 (округлено до сотых).