Вопрос: Петя выбрал на плоскости 13 точек общего положения, то есть таких, что никакие три из этих точек не лежат на одной прямой, и покрасил две точки в красный цвет, а остальные - в зеленый. Через каждые две одноцветные точки он провёл прямую: соответственно, одну красную, остальные - зеленые. Какое наименьшее число зеленых прямых может пересечь красная прямая?

Математика 9 класс Комбинаторная геометрия математика 9 класс геометрия точки Прямые комбинаторика пересечение красные точки зеленые точки плоскость задачи общий положение минимальное число прямые линии Новый

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

У нас есть 13 точек, среди которых 2 точки окрашены в красный цвет, а остальные 11 - в зеленый. Мы проведем прямые через пары одноцветных точек.

• Красные прямые: Поскольку у нас только 2 красные точки, мы можем провести только 1 красную прямую, соединяющую эти две точки.
• Зеленые прямые: Для 11 зеленых точек мы можем провести прямые между любыми двумя из них. Количество зеленых прямых можно вычислить по формуле сочетаний:

Число зеленых прямых будет равно C(11, 2), где C(n, k) - это число сочетаний из n по k. В нашем случае:

• C(11, 2) = 11! / (2!(11-2)!) = (11 * 10) / (2 * 1) = 55.

Теперь, чтобы ответить на вопрос о том, какое наименьшее количество зеленых прямых может пересечь красную прямую, нам нужно понять, как расположены точки.

Поскольку никакие три точки не лежат на одной прямой, это означает, что каждая зеленая прямая, соединяющая две зеленые точки, может пересекаться с красной прямой лишь в том случае, если одна из зеленых точек находится по одну сторону от красной прямой, а другая - по другую сторону.

Для того чтобы минимизировать количество зеленых прямых, которые могут пересекать красную прямую, мы можем расположить зеленые точки таким образом, чтобы как можно больше зеленых точек находились с одной стороны от красной прямой, а как можно меньше - с другой.

Если, например, 10 зеленых точек находятся с одной стороны от красной прямой, а только 1 зеленая точка - с другой стороны, то мы можем провести прямую только между этой одной зеленой точкой и любыми из 10 зеленых точек с одной стороны. Таким образом, количество зеленых прямых, которые могут пересекать красную прямую, будет равно 1.

Следовательно, наименьшее количество зеленых прямых, которые могут пересечь красную прямую, равно 1.

Ответ: 1