Для вычисления двойного интеграла ∫∫D xy dxdy, где D ограничена кривыми y=x, y=1 и x=2, сначала определим область интегрирования D.

Область D задается следующими кривыми:

• y = x (прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов),
• y = 1 (горизонтальная прямая),
• x = 2 (вертикальная прямая).

Теперь давайте визуализируем эти линии:

• Линия y = x пересекает линию y = 1 в точке (1, 1).
• Линия x = 2 пересекает линию y = 1 в точке (2, 1).

Таким образом, область D будет треугольной, с вершинами в точках (1, 1), (2, 1) и (2, 2).

Теперь определим пределы интегрирования. Мы можем интегрировать сначала по x, а затем по y:

1. y будет меняться от 0 до 1, так как это нижняя граница для области D.
2. Для фиксированного y, x будет меняться от y до 2, так как x = 2 является правой границей области D.

Теперь можем записать двойной интеграл:

∫ от 0 до 1 ∫ от y до 2 xy dx dy

Теперь будем вычислять внутренний интеграл:

∫ от y до 2 xy dx

Принимаем y за константу:

∫ xy dx = y * ∫ x dx = y * (x^2 / 2) | от y до 2

Теперь подставим пределы:

y * [(2^2 / 2) - (y^2 / 2)] = y * [2 - (y^2 / 2)] = 2y - (y^3 / 2)

Теперь вычислим внешний интеграл:

∫ от 0 до 1 (2y - (y^3 / 2)) dy

Разделим этот интеграл на два простых интеграла:

∫ от 0 до 1 2y dy - ∫ от 0 до 1 (y^3 / 2) dy

Теперь вычислим каждый из них:

1. ∫ 2y dy = 2 * (y^2 / 2) | от 0 до 1 = y^2 | от 0 до 1 = 1^2 - 0^2 = 1.
2. ∫ (y^3 / 2) dy = (1/2) * (y^4 / 4) | от 0 до 1 = (1/2) * (1/4) - 0 = 1/8.

Теперь подставим результаты:

1 - 1/8 = 8/8 - 1/8 = 7/8.

Таким образом, значение двойного интеграла ∫∫D xy dxdy равно 7/8.