Вычислить приближенно с использованием дифференциала:

1. ∛310
2. ⁴√158
3. √(х² + 3х + 5), где х=1,14

Математика 9 класс Дифференциалы и приближенные вычисления вычисление дифференциал приближенное значение математика 9 класс корень кубический корень четвертой степени производная функции Новый

Для вычисления приближенных значений с использованием дифференциала, мы сначала должны найти производные функций, а затем использовать их для вычисления приближений. Рассмотрим каждую из функций по отдельности.

1. Вычисление ∛310

Для начала найдем функцию f(x) = ∛x. Мы будем использовать точку, близкую к 310, чтобы упростить вычисление. Подходящая точка - это 343, так как ∛343 = 7.

Теперь найдем производную:

• f'(x) = (1/3) * x^(-2/3).

Теперь подставим x = 343:

• f'(343) = (1/3) * (343)^(-2/3) = (1/3) * (1/49) = 1/147.

Теперь вычислим разницу: Δx = 310 - 343 = -33.

Теперь можем найти приближенное значение:

• f(310) ≈ f(343) + f'(343) * Δx.
• f(310) ≈ 7 + (1/147) * (-33) ≈ 7 - 0.224 ≈ 6.776.

2. Вычисление ⁴√158

Теперь найдем функцию g(x) = ⁴√x. Подходящая точка для 158 - это 256, так как ⁴√256 = 4.

Найдем производную:

• g'(x) = (1/4) * x^(-3/4).

Теперь подставим x = 256:

• g'(256) = (1/4) * (256)^(-3/4) = (1/4) * (1/64) = 1/256.

Теперь вычислим разницу: Δx = 158 - 256 = -98.

Теперь можем найти приближенное значение:

• g(158) ≈ g(256) + g'(256) * Δx.
• g(158) ≈ 4 + (1/256) * (-98) ≈ 4 - 0.384 ≈ 3.616.

3. Вычисление √(х² + 3х + 5) при х = 1.14

Для этой функции используем h(x) = √(x² + 3x + 5). Найдем производную:

• h'(x) = (1/2) * (x² + 3x + 5)^(-1/2) * (2x + 3).

Теперь подставим x = 1.14:

• h(1.14) = √(1.14² + 3*1.14 + 5) = √(1.2996 + 3.42 + 5) = √(9.7196) ≈ 3.11.
• h'(1.14) = (1/2) * (9.7196)^(-1/2) * (2*1.14 + 3) = (1/2) * (1/3.11) * 5.28 ≈ 0.84.

Теперь вычислим Δx (х = 1.14, возьмем ближайшую точку, например, 1):

• Δx = 1.14 - 1 = 0.14.

Теперь можем найти приближенное значение:

• h(1.14) ≈ h(1) + h'(1) * Δx.
• h(1.14) ≈ 3 + 0.84 * 0.14 ≈ 3 + 0.1176 ≈ 3.1176.

Таким образом, приближенные значения:

• ∛310 ≈ 6.776
• ⁴√158 ≈ 3.616
• √(х² + 3х + 5) при х=1.14 ≈ 3.1176