1) Как на плоскости ху построить линии уровня функции z = x^2 + y^2?

2) Какую фигуру описывают поверхности уровня для функции z = x^2 + y^2 + z^2?

Математика Колледж Поверхности уровня функции нескольких переменных линии уровня функция z = x^2 + y^2 поверхности уровня плоскость xy график функции математический анализ трехмерная геометрия Новый

1) Как на плоскости xy построить линии уровня функции z = x^2 + y^2?

Линии уровня функции представляют собой набор точек на плоскости xy, для которых функция принимает одно и то же значение. В данном случае, мы хотим найти линии уровня для функции z = x^2 + y^2.

Чтобы построить линии уровня, следуем следующим шагам:

1. Задайте значение z: Выберите несколько значений для z. Например, z = 1, z = 4, z = 9 и т.д.
2. Решите уравнение: Для каждого выбранного значения z, решаем уравнение x^2 + y^2 = z. Это уравнение описывает круги на плоскости xy.
3. Постройте круги:
   • Для z = 1: x^2 + y^2 = 1 — это круг радиуса 1 с центром в начале координат (0, 0).
   • Для z = 4: x^2 + y^2 = 4 — это круг радиуса 2 с центром в начале координат (0, 0).
   • Для z = 9: x^2 + y^2 = 9 — это круг радиуса 3 с центром в начале координат (0, 0).
4. Изобразите на графике: Нанесите эти круги на плоскость xy. Каждое значение z будет соответствовать своему кругу.

Таким образом, линии уровня функции z = x^2 + y^2 представляют собой концентрические круги, расположенные вокруг начала координат.

2) Какую фигуру описывают поверхности уровня для функции z = x^2 + y^2 + z^2?

Теперь рассмотрим функцию z = x^2 + y^2 + z^2. Здесь мы ищем поверхности уровня, что означает, что мы хотим найти все точки (x, y, z), для которых функция принимает одно и то же значение, скажем, k.

Для этого мы можем записать уравнение:

x^2 + y^2 + z^2 = k

Это уравнение описывает поверхность в трехмерном пространстве. Рассмотрим его подробнее:

• Если k > 0, то это уравнение описывает сферу радиуса √k с центром в начале координат (0, 0, 0).
• Если k = 0, то уравнение сводится к x^2 + y^2 + z^2 = 0, что соответствует единственной точке в начале координат.
• Если k < 0, то уравнение не имеет решений, так как сумма квадратов не может быть отрицательной.

Таким образом, поверхности уровня для функции z = x^2 + y^2 + z^2 представляют собой сферы с радиусом √k, где k — положительное значение.