1) Как решить неравенство: 5 tg (x - 2п/3) < 2? (с графиком)

2) Как решить неравенство: sin 5x cos 3x - cos 5x sin 3x > -1/2? (с графиком)

3) Как решить уравнение: cos(x+п/3)cos(x-п/3)-0,25=0?

4) Как вычислить cos a/2, если sin a=12/13, п/2?

Математика Колледж Тригонометрические уравнения и неравенства неравенство 5 tg (x - 2п/3) график неравенства решение неравенства sin 5x cos 3x cos 5x sin 3x решение уравнения cos(x+п/3) вычисление cos a/2 sin a=12/13 математические задачи тригонометрические уравнения Новый

1) Решение неравенства: 5 tg (x - 2п/3) < 2

Для начала, упростим неравенство:

• Разделим обе стороны на 5: tg (x - 2п/3) < 2/5.

Теперь найдем, при каких значениях x функция tg(x - 2п/3) меньше 2/5.

tg(x) имеет период π, поэтому мы можем рассмотреть решение в пределах одного периода.

Решим уравнение:

• tg(x - 2п/3) = 2/5.

Это уравнение можно решить, используя арктангенс:

• x - 2п/3 = arctg(2/5) + kπ, где k - целое число.
• Следовательно, x = arctg(2/5) + 2п/3 + kπ.

Теперь определим, где tg(x - 2п/3) < 2/5. Это будет происходить на интервалах, где tg(x) меньше 2/5. Поскольку tg(x) возрастает, мы можем записать:

• x - 2п/3 < arctg(2/5) + kπ.

Таким образом, неравенство будет выполнено на интервалах:

• (2п/3 + kπ, arctg(2/5) + 2п/3 + kπ).

График:

На графике функции tg(x) можно увидеть, как она пересекает линию y = 2/5. Все значения x, для которых tg(x) меньше 2/5, будут находиться в указанных интервалах.

2) Решение неравенства: sin 5x cos 3x - cos 5x sin 3x > -1/2

Используем формулу синуса разности:

• sin(5x - 3x) = sin(2x).

Таким образом, неравенство можно переписать как:

• sin(2x) > -1/2.

Теперь найдем, при каких значениях 2x синус больше -1/2. Это происходит в следующих интервалах:

• 2x ∈ (-π/6 + 2kπ, 5π/6 + 2kπ), где k - целое число.

Теперь делим все на 2:

• x ∈ (-π/12 + kπ, 5π/12 + kπ).

График:

На графике функции sin(2x) можно увидеть, как она пересекает линию y = -1/2. Все значения x, для которых sin(2x) больше -1/2, будут находиться в указанных интервалах.

3) Решение уравнения: cos(x+п/3)cos(x-п/3) - 0,25 = 0

Используем формулу произведения косинусов:

• cos(A)cos(B) = 1/2[cos(A+B) + cos(A-B).

В нашем случае:

• cos(x + π/3)cos(x - π/3) = 1/2[cos(2x) + cos(π/3)] = 1/2[cos(2x) + 1/2].

Теперь подставим это в уравнение:

• 1/2[cos(2x) + 1/2] - 0,25 = 0.

Умножим все на 2:

• cos(2x) + 1/2 - 0,5 = 0.

Таким образом, получаем:

• cos(2x) = 0.

Решим это уравнение:

• 2x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.
• x = (2k + 1)π/4.

4) Вычисление cos(a/2), если sin(a) = 12/13

Для нахождения cos(a/2) воспользуемся формулой:

• cos(a/2) = ±sqrt((1 + cos(a))/2).

Сначала найдем cos(a) по формуле Пифагора:

• sin^2(a) + cos^2(a) = 1.
• (12/13)^2 + cos^2(a) = 1.
• 144/169 + cos^2(a) = 1.
• cos^2(a) = 1 - 144/169 = 25/169.
• cos(a) = ±5/13.

Теперь подставим значение cos(a) в формулу для cos(a/2):

• cos(a/2) = ±sqrt((1 + 5/13)/2) = ±sqrt((18/13)/2) = ±sqrt(9/13) = ±3/sqrt(13).

Знак выбирается в зависимости от квадранта, в котором находится угол a/2.