исследовать функцию и построить график y=-x^3+3x^2-4

Математика Колледж Исследование функций и графики y=-x^3+3x^2-4 Новый

Для исследования функции y = -x^3 + 3x^2 - 4, давайте пройдем через несколько шагов: определим область определения, найдем производную, исследуем критические точки, определим интервалы возрастания и убывания, а также найдем точки пересечения с осями координат.

Шаг 1: Область определения

Функция является многочленом, и область определения многочленов – это все действительные числа. Таким образом, область определения:

• x ∈ R

Шаг 2: Нахождение производной

Найдем первую производную функции для анализа ее поведения:

y' = d/dx (-x^3 + 3x^2 - 4) = -3x^2 + 6x

Шаг 3: Критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

-3x^2 + 6x = 0

Можно вынести общий множитель:

-3x(x - 2) = 0

Таким образом, критические точки:

• x = 0
• x = 2

Шаг 4: Исследование знака производной

Теперь определим интервалы возрастания и убывания, проверив знак производной в интервалах, образованных критическими точками:

• Интервал (-∞, 0):
• Выберем x = -1: y' = -3(-1)^2 + 6(-1) = -3 - 6 = -9 (убывает)
• Интервал (0, 2):
• Выберем x = 1: y' = -3(1)^2 + 6(1) = -3 + 6 = 3 (возрастает)
• Интервал (2, +∞):
• Выберем x = 3: y' = -3(3)^2 + 6(3) = -27 + 18 = -9 (убывает)

Таким образом, мы имеем:

• Функция убывает на интервале (-∞, 0)
• Функция возрастает на интервале (0, 2)
• Функция убывает на интервале (2, +∞)

Шаг 5: Нахождение значений функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• y(0) = -0^3 + 3*0^2 - 4 = -4
• y(2) = -2^3 + 3*2^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0

Шаг 6: Точки пересечения с осями

Теперь найдем точки пересечения с осями координат:

• Пересечение с осью Y (x = 0): y(0) = -4, точка (0, -4).
• Пересечение с осью X: решим уравнение -x^3 + 3x^2 - 4 = 0.

Для нахождения корней этого уравнения можно использовать численные методы или графический анализ. Мы уже знаем, что x = 2 является корнем.

Шаг 7: Построение графика

Теперь мы можем построить график функции. Он будет иметь следующие ключевые характеристики:

• Точка максимума в (2, 0)
• Точка минимума в (0, -4)
• Функция убывает до x = 0, возрастает до x = 2 и снова убывает после x = 2.

График функции будет выглядеть как кубическая парабола, повернутая вниз, с одной вершиной на (2, 0) и минимумом на (0, -4).

Таким образом, мы исследовали функцию y = -x^3 + 3x^2 - 4 и построили ее график, учитывая все ключевые моменты. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!