Числовой ряд — это последовательность чисел, которые складываются друг с другом. Формально, числовой ряд можно представить как сумму элементов последовательности. Например, если у нас есть последовательность a1, a2, a3, ..., an, то числовой ряд обозначается как S = a1 + a2 + a3 + ... + an.

Определение частичной суммы: Частичная сумма числового ряда — это сумма первых n членов ряда. Она обозначается как Sn и вычисляется по следующей формуле:

• Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an

Частичные суммы помогают понять, как ведет себя ряд, когда мы добавляем все больше и больше его членов.

Вычисление суммы ряда: Сумма ряда — это предел частичных сумм, если этот предел существует. Если S = lim(n→∞) Sn, то мы говорим, что ряд сходится к S. Если предел не существует, то ряд называется расходящимся.

Сходимость ряда: Сходимость ряда — это свойство, которое показывает, что при добавлении бесконечного числа членов ряда сумма стремится к определенному значению. Чтобы определить, сходится ли ряд, используют различные критерии сходимости, такие как:

• Критерий сравнения
• Критерий Даламбера (или тест на отношение)
• Критерий Коши

Примеры:

1. Пример 1: Геометрический ряд
• Ряд: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
• Частичная сумма Sn = 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/(2^(n-1)) = 2 - 1/(2^(n-1)).
• При n → ∞, Sn стремится к 2, значит, ряд сходится к 2.
2. Пример 2: Гармонический ряд
• Ряд: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
• Частичная сумма Sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n.
• При n → ∞, Sn стремится к бесконечности, значит, ряд расходится.

Таким образом, числовой ряд — это важная концепция в математике, которая используется во многих областях, включая анализ, физику и экономику. Понимание частичных сумм и сходимости рядов позволяет решать множество задач и применять эти знания на практике.