Для решения задачи мы будем использовать векторную алгебру. Начнем с определения координат вершин пирамиды:

• A1 (3, 1, -3)
• A2 (3, -6, -3)
• A3 (9, -6, -9)
• A4 (2, -3, 5)

Теперь перейдем к каждому из пунктов задачи.

Для нахождения угла между двумя векторами необходимо сначала определить векторы A1A2 и A1A4.

• Вектор A1A2 = A2 - A1 = (3, -6, -3) - (3, 1, -3) = (0, -7, 0)
• Вектор A1A4 = A4 - A1 = (2, -3, 5) - (3, 1, -3) = (-1, -4, 8)

Теперь найдем угол между этими векторами с помощью скалярного произведения:

• Скалярное произведение A1A2 и A1A4: (0, -7, 0) • (-1, -4, 8) = 0 * (-1) + (-7) * (-4) + 0 * 8 = 28
• Модули векторов: ||A1A2|| = sqrt(0^2 + (-7)^2 + 0^2) = 7, ||A1A4|| = sqrt((-1)^2 + (-4)^2 + 8^2) = sqrt(81) = 9
• Косинус угла: cos(θ) = (A1A2 • A1A4) / (||A1A2|| * ||A1A4||) = 28 / (7 * 9) = 28 / 63 = 4/9

Угол θ = arccos(4/9).

Для нахождения площади треугольника A1A2A3 используем формулу:

Площадь = 0.5 * ||(A2 - A1) x (A3 - A1)||

• Вектор A2 - A1 = (0, -7, 0)
• Вектор A3 - A1 = (6, -7, -6)
• Векторное произведение: (0, -7, 0) x (6, -7, -6) = (-42, 0, 42)
• Модуль векторного произведения: ||(-42, 0, 42)|| = sqrt((-42)^2 + 0^2 + 42^2) = sqrt(1764 + 1764) = sqrt(3528) = 6 * sqrt(98) = 42√2

Следовательно, площадь треугольника A1A2A3 = 0.5 * 42√2 = 21√2.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: V = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота.

Площадь основания A2A3A4 можно найти аналогично, но сначала найдем высоту пирамиды, которая равна расстоянию от A1 до плоскости A2A3A4.

Для нахождения высоты определим уравнение плоскости A2A3A4.

• Векторы A2A3 и A2A4: A2A3 = (6, 0, -6), A2A4 = (-1, 3, 8)
• Векторное произведение: A2A3 x A2A4 = (18, 6, 18)

Уравнение плоскости: 18(x - 3) + 6(y + 6) + 18(z + 3) = 0. Упрощая, получаем 3x + y + 3z = 3.

Теперь найдем расстояние от точки A1 до этой плоскости:

h = |3*3 + 1*1 + 3*(-3) - 3| / sqrt(3^2 + 1^2 + 3^2) = |9 + 1 - 9 - 3| / sqrt(19) = | -2 | / sqrt(19) = 2/sqrt(19).

Теперь найдем площадь основания A2A3A4. Используя аналогичный метод, получаем S = 18.

Следовательно, объем V = (1/3) * 18 * (2/sqrt(19)) = 12/sqrt(19).

Как мы уже нашли ранее, уравнение плоскости будет 3x + y + 3z = 3.

Высота будет перпендикулярна плоскости A2A3A4 и проходить через точку A1. Уравнение прямой, проходящей через точку A1 и нормаль к плоскости, можно записать в параметрической форме:

(x, y, z) = (3, 1, -3) + t*(3, 1, 3), где t - параметр.

Таким образом, мы нашли все необходимые значения и уравнения.