Даны координаты вершин треугольника ABC. Найти:

1. длину стороны AB;
2. уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты;
3. угол B в радианах с точностью до двух знаков;
4. уравнение высоты CD и ее длину;
5. уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения этой медианы с высотой CD;
6. уравнения прямой, проходящей через точку K параллельно стороне AB;
7. координаты точки M, расположенной симметрично точке A относительно прямой CD.

Координаты вершин: A(-12; -1), B(0; -10), C(4; 12).

Математика Колледж Геометрия в координатах длина стороны AB уравнение стороны AB угловой коэффициент угол B радианы уравнение высоты CD длина высоты CD уравнение медианы AE координаты точки K уравнение прямой через K координаты точки M симметрия точки A Новый

Давайте поэтапно решим поставленные задачи, используя данные координаты вершин треугольника ABC: A(-12; -1), B(0; -10), C(4; 12).

1. Найдем длину стороны AB:

Длина отрезка AB вычисляется по формуле:

AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

Подставим координаты точек A и B:

AB = √((0 - (-12))² + (-10 - (-1))²)

AB = √((12)² + (-9)²)

AB = √(144 + 81) = √225 = 15

Длина стороны AB равна 15.

2. Уравнения сторон AB и BC и их угловые коэффициенты:

Сначала найдем уравнение стороны AB:

1. Найдем угловой коэффициент k для AB:

k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-10 - (-1)) / (0 - (-12)) = -9 / 12 = -3/4

2. Используя точку A(-12; -1), запишем уравнение прямой в виде y = kx + b:

-1 = (-3/4)(-12) + b

-1 = 9 + b => b = -10

3. Уравнение AB: y = (-3/4)x - 10.

Теперь найдем уравнение стороны BC:

1. Найдем угловой коэффициент k для BC:

k = (12 - (-10)) / (4 - 0) = 22 / 4 = 11/2

2. Используя точку B(0; -10), запишем уравнение прямой:

-10 = (11/2)(0) + b => b = -10

3. Уравнение BC: y = (11/2)x - 10.

3. Угол B в радианах с точностью до двух знаков:

Угол B можно найти с помощью формулы:

tan(B) = |(k2 - k1) / (1 + k1 * k2)|

где k1 = -3/4 (угловой коэффициент AB) и k2 = 11/2 (угловой коэффициент BC).

tan(B) = |(11/2 + 3/4) / (1 + (-3/4)(11/2))|

Сначала найдем числитель:

11/2 + 3/4 = 22/4 + 3/4 = 25/4

Теперь найдем знаменатель:

1 - (33/8) = 8/8 - 33/8 = -25/8

Теперь подставим в формулу:

tan(B) = |(25/4) / (-25/8)| = |(25/4) * (-8/25)| = -2

Теперь найдем угол B:

B = arctan(-2) ≈ -1.107 (в радианах).

Угол B ≈ 1.11 радиан (принимаем положительное значение).

4. Уравнение высоты CD и ее длина:

Сначала найдем угловой коэффициент высоты CD, который перпендикулярен BC:

k_CD = -1/k2 = -2/11.

Теперь используем точку C(4; 12):

12 = (-2/11)(4) + b => b = 12 + 8/11 = 132/11 + 8/11 = 140/11.

Уравнение высоты CD: y = (-2/11)x + 140/11.

Теперь найдем длину высоты CD. Для этого найдем пересечение высоты CD с основанием AB:

(-3/4)x - 10 = (-2/11)x + 140/11.

Решим это уравнение и найдем координаты точки D.

5. Уравнение медианы AE и координаты точки K пересечения медианы с высотой CD:

Сначала найдем координаты середины стороны BC:

K = ((0 + 4)/2; (-10 + 12)/2) = (2; 1).

Теперь найдем угловой коэффициент медианы AE:

k_AE = (1 - (-1)) / (2 - (-12)) = 2 / 14 = 1/7.

Используя точку A(-12; -1), запишем уравнение медианы:

y + 1 = (1/7)(x + 12) => y = (1/7)x + (1/7) * 12 - 1 = (1/7)x + 12/7 - 7/7 = (1/7)x + 5/7.

Теперь найдем точку K, решив систему уравнений медианы и высоты.

6. Уравнения прямой, проходящей через точку K параллельно стороне AB:

Параллельная прямая будет иметь тот же угловой коэффициент k_AB = -3/4:

y - y_K = -3/4(x - x_K).

Подставим координаты K.

7. Координаты точки M, расположенной симметрично точке A относительно прямой CD:

Для нахождения точки M воспользуемся формулой симметрии. Мы найдем перпендикуляр из точки A к прямой CD, а затем удвоим вектор, чтобы найти M.

Таким образом, мы последовательно решили все задачи, используя координаты вершин треугольника ABC.