Похожие вопросы
2025-01-22 23:28:54
Даны координаты вершин треугольника АВС. Нужно определить:
- длину сторон треугольника,
- уравнения сторон треугольника,
- угол при вершине В,
- площадь треугольника АВС,
- центр, радиус и уравнение окружности, описанной около треугольника АВС,
- систему неравенств, определяющих область треугольника.
Координаты вершин: А(-2:2),В(3:4),С(1:-2).
МатематикаКолледжГеометрия в координатной плоскостидлина сторон треугольникауравнения сторон треугольникаугол при вершине Вплощадь треугольникаокружность описанная треугольникомсистема неравенств треугольника
2025-01-22 23:29:11
Давайте поэтапно решим задачу, используя данные координаты вершин треугольника A(-2, 2),B(3, 4) и C(1, -2).
1. Длина сторон треугольникаДля нахождения длины сторон треугольника используем формулу расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
- Длина стороны AB:
- Длина стороны BC:
- Длина стороны AC:
d_AB = √((3 - (-2))² + (4 - 2)²) = √((3 + 2)² + (2)²) = √(5² + 2²) = √(25 + 4) = √29
d_BC = √((1 - 3)² + (-2 - 4)²) = √((-2)² + (-6)²) = √(4 + 36) = √40 = 2√10
d_AC = √((1 - (-2))² + (-2 - 2)²) = √((1 + 2)² + (-4)²) = √(3² + 16) = √(9 + 16) = √25 = 5
Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2),используем формулу:
y - y1 = m(x - x1),где m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
- Уравнение AB:
- Уравнение BC:
- Уравнение AC:
m_AB = (4 - 2) / (3 - (-2)) = 2 / 5
Уравнение: y - 2 = (2/5)(x + 2) => 5y - 10 = 2x + 4 => 2x - 5y + 14 = 0
m_BC = (-2 - 4) / (1 - 3) = -6 / -2 = 3
Уравнение: y - 4 = 3(x - 3) => y - 4 = 3x - 9 => 3x - y - 5 = 0
m_AC = (-2 - 2) / (1 - (-2)) = -4 / 3
Уравнение: y - 2 = (-4/3)(x + 2) => 3y - 6 = -4x - 8 => 4x + 3y + 2 = 0
Для нахождения угла при вершине B, используем формулу:
cos(θ) = (a² + b² - c²) / (2ab),где a и b - длины сторон, образующих угол, а c - длина стороны, противоположной углу.
Стороны, образующие угол B: AB и BC, а c - AC.
cos(B) = (d_AB² + d_BC² - d_AC²) / (2 * d_AB * d_BC)
Подставим значения:
cos(B) = (29 + 40 - 25) / (2 * √29 * 2√10) = 64 / (4√290) = 16 / √290
Угол B = arccos(16 / √290).
4. Площадь треугольника ABCПлощадь треугольника можно вычислить по формуле:
Площадь = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|
Подставим координаты:
Площадь = 0.5 * |-2(4 - (-2)) + 3((-2) - 2) + 1(2 - 4)| = 0.5 * |-2*6 - 3*4 + 1*(-2)| = 0.5 * |-12 - 12 - 2| = 0.5 * 26 = 13.
5. Центр, радиус и уравнение окружности, описанной около треугольника ABCЦентр окружности (O) находится на пересечении серединных перпендикуляров. Для нахождения радиуса используем формулу:
R = d_AB * d_BC * d_AC / (4 * Площадь).
Подставляем значения:
R = (√29 * 2√10 * 5) / (4 * 13) = (10√290) / 52 = 5√290 / 26.
Уравнение окружности: (x - O_x)² + (y - O_y)² = R².
Для вычисления O_x и O_y нужно найти координаты середин отрезков.
6. Система неравенств, определяющих область треугольникаСистема неравенств будет состоять из трех неравенств, каждое из которых описывает область, находящуюся внутри треугольника:
- y ≤ (2/5)x + 14/5 (для стороны AB)
- y ≤ 3x - 5 (для стороны BC)
- y ≥ (-4/3)x - 2/3 (для стороны AC)
Таким образом, мы нашли все необходимые характеристики треугольника ABC.
