Даны координаты вершин треугольника АВС. Нужно определить:

1. длину сторон треугольника,
2. уравнения сторон треугольника,
3. угол при вершине В,
4. площадь треугольника АВС,
5. центр, радиус и уравнение окружности, описанной около треугольника АВС,
6. систему неравенств, определяющих область треугольника.

Координаты вершин: А(-2:2), В(3:4), С(1:-2).

Математика Колледж Геометрия в координатной плоскости длина сторон треугольника уравнения сторон треугольника угол при вершине В площадь треугольника окружность описанная треугольником система неравенств треугольника Новый

Давайте поэтапно решим задачу, используя данные координаты вершин треугольника A(-2, 2), B(3, 4) и C(1, -2).

1. Длина сторон треугольника

Для нахождения длины сторон треугольника используем формулу расстояния между двумя точками (x1, y1) и (x2, y2):

d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

• Длина стороны AB:

d_AB = √((3 - (-2))² + (4 - 2)²) = √((3 + 2)² + (2)²) = √(5² + 2²) = √(25 + 4) = √29

• Длина стороны BC:

d_BC = √((1 - 3)² + (-2 - 4)²) = √((-2)² + (-6)²) = √(4 + 36) = √40 = 2√10

• Длина стороны AC:

d_AC = √((1 - (-2))² + (-2 - 2)²) = √((1 + 2)² + (-4)²) = √(3² + 16) = √(9 + 16) = √25 = 5

2. Уравнения сторон треугольника

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две точки (x1, y1) и (x2, y2), используем формулу:

y - y1 = m(x - x1), где m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

• Уравнение AB:

m_AB = (4 - 2) / (3 - (-2)) = 2 / 5

Уравнение: y - 2 = (2/5)(x + 2) => 5y - 10 = 2x + 4 => 2x - 5y + 14 = 0

• Уравнение BC:

m_BC = (-2 - 4) / (1 - 3) = -6 / -2 = 3

Уравнение: y - 4 = 3(x - 3) => y - 4 = 3x - 9 => 3x - y - 5 = 0

• Уравнение AC:

m_AC = (-2 - 2) / (1 - (-2)) = -4 / 3

Уравнение: y - 2 = (-4/3)(x + 2) => 3y - 6 = -4x - 8 => 4x + 3y + 2 = 0

3. Угол при вершине B

Для нахождения угла при вершине B, используем формулу:

cos(θ) = (a² + b² - c²) / (2ab), где a и b - длины сторон, образующих угол, а c - длина стороны, противоположной углу.

Стороны, образующие угол B: AB и BC, а c - AC.

cos(B) = (d_AB² + d_BC² - d_AC²) / (2 * d_AB * d_BC)

Подставим значения:

cos(B) = (29 + 40 - 25) / (2 * √29 * 2√10) = 64 / (4√290) = 16 / √290

Угол B = arccos(16 / √290).

4. Площадь треугольника ABC

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

Площадь = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

Подставим координаты:

Площадь = 0.5 * |-2(4 - (-2)) + 3((-2) - 2) + 1(2 - 4)| = 0.5 * |-2*6 - 3*4 + 1*(-2)| = 0.5 * |-12 - 12 - 2| = 0.5 * 26 = 13.

5. Центр, радиус и уравнение окружности, описанной около треугольника ABC

Центр окружности (O) находится на пересечении серединных перпендикуляров. Для нахождения радиуса используем формулу:

R = d_AB * d_BC * d_AC / (4 * Площадь).

Подставляем значения:

R = (√29 * 2√10 * 5) / (4 * 13) = (10√290) / 52 = 5√290 / 26.

Уравнение окружности: (x - O_x)² + (y - O_y)² = R².

Для вычисления O_x и O_y нужно найти координаты середин отрезков.

6. Система неравенств, определяющих область треугольника

Система неравенств будет состоять из трех неравенств, каждое из которых описывает область, находящуюся внутри треугольника:

• y ≤ (2/5)x + 14/5 (для стороны AB)
• y ≤ 3x - 5 (для стороны BC)
• y ≥ (-4/3)x - 2/3 (для стороны AC)

Таким образом, мы нашли все необходимые характеристики треугольника ABC.