Даны точки A(-17, 6, -3), B(3, 24, 5), C(-15, 5, -5). Как найти проекцию вектора AB на вектор AC?

Математика Колледж Векторы и их проекции векторы проекция вектора математика вектор AB вектор AC точки A B C нахождение проекции геометрия векторов Новый

Для нахождения проекции вектора AB на вектор AC необходимо следовать нескольким шагам. Давайте рассмотрим их подробнее.

Шаг 1: Найдем векторы AB и AC

Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:

• AB = B - A = (3 - (-17), 24 - 6, 5 - (-3)) = (3 + 17, 24 - 6, 5 + 3) = (20, 18, 8)

Аналогично, вектор AC можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки C:

• AC = C - A = (-15 - (-17), 5 - 6, -5 - (-3)) = (-15 + 17, 5 - 6, -5 + 3) = (2, -1, -2)

Шаг 2: Найдем длину вектора AC

Длина вектора AC (или его модуль) может быть найдена по формуле:

• |AC| = √(x^2 + y^2 + z^2), где (x, y, z) - координаты вектора AC.

Подставляем значения:

• |AC| = √(2^2 + (-1)^2 + (-2)^2) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3

Шаг 3: Найдем скалярное произведение векторов AB и AC

Скалярное произведение двух векторов можно вычислить по формуле:

• AB · AC = Ax * Cx + Ay * Cy + Az * Cz, где (Ax, Ay, Az) - координаты вектора AB, а (Cx, Cy, Cz) - координаты вектора AC.

Подставляем значения:

• AB · AC = 20 * 2 + 18 * (-1) + 8 * (-2) = 40 - 18 - 16 = 6

Шаг 4: Найдем проекцию вектора AB на вектор AC

Проекция вектора AB на вектор AC вычисляется по формуле:

• proj_AC(AB) = (AB · AC / |AC|^2) * AC

Сначала найдем |AC|^2:

• |AC|^2 = 3^2 = 9

Теперь подставим все значения в формулу проекции:

• proj_AC(AB) = (6 / 9) * AC = (2/3) * (2, -1, -2) = (4/3, -2/3, -4/3)

Таким образом, проекция вектора AB на вектор AC равна (4/3, -2/3, -4/3).