Для функции f(x) = 4/(x^5) + 3x^2, как найти первообразную, которая проходит через точку A(1; 8)?

Математика Колледж Интегралы и первообразные функция f(x) первообразная точка A(1; 8) интегрирование математика 12 класс Новый

Чтобы найти первообразную функции f(x) = 4/(x^5) + 3x^2, нам нужно выполнить интегрирование этой функции. Давайте разберем шаги решения:

1. Интегрирование функции: Мы будем интегрировать каждую часть функции отдельно.
• Первая часть: 4/(x^5) = 4 * x^(-5). Интеграл от x^n равен x^(n+1)/(n+1), где n не равен -1. В нашем случае n = -5.
• Интегрируем: ∫4 * x^(-5) dx = 4 * (x^(-4)/(-4)) = -x^(-4) = -1/(x^4).
• Вторая часть: 3x^2. Интегрируем: ∫3x^2 dx = 3 * (x^(2+1)/(2+1)) = 3 * (x^3/3) = x^3.
2. Собираем результаты: Теперь мы можем объединить результаты интегрирования:
• ∫f(x) dx = -1/(x^4) + x^3 + C, где C - произвольная константа интегрирования.
3. Определение константы C: Чтобы найти значение C, используем условие, что первообразная проходит через точку A(1; 8). Подставляем x = 1 и y = 8 в полученную формулу:
• 8 = -1/(1^4) + 1^3 + C.
• 8 = -1 + 1 + C.
• 8 = C.
4. Записываем окончательный ответ: Теперь мы можем записать первообразную с найденным значением C:
• F(x) = -1/(x^4) + x^3 + 8.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 4/(x^5) + 3x^2, проходящая через точку A(1; 8), равна F(x) = -1/(x^4) + x^3 + 8.