Для натурального числа n число 520 * n³ имеет 130 положительных делителей. Сколько положительных полных квадратных делителей имеет число 250n⁵ для наименьшего n, который соответствует этому условию?

Математика Колледж Делители и свойства чисел математика натуральные числа положительные делители полные квадратные делители число 5²⁰ число 250 n³ n⁵ делители числа Новый

Для начала нам нужно понять, как найти количество положительных делителей числа. Если число разлагается на простые множители в следующем виде:

N = p1^k1 * p2^k2 * ... * pm^km

то количество положительных делителей числа N можно вычислить по формуле:

(k1 + 1)(k2 + 1)...(km + 1)

Теперь давайте разложим число 520 на простые множители:

520 = 2^3 * 5^1 * 13^1

Теперь рассмотрим число 520 * n³:

520 * n³ = 2^3 * 5^1 * 13^1 * n³

Пусть n разлагается на простые множители в виде:

n = 2^a * 5^b * 13^c * d

где d - произведение других простых чисел, не равных 2, 5 и 13. Тогда:

n³ = 2^(3a) * 5^(3b) * 13^(3c) * d³

Теперь подставим это в выражение для количества делителей:

520 * n³ = 2^(3 + 3a) * 5^(1 + 3b) * 13^(1 + 3c) * d³

Количество положительных делителей будет равно:

(3 + 3a + 1)(1 + 3b + 1)(1 + 3c)(k + 1)

где k - количество различных простых множителей в d. Мы знаем, что это количество равно 130:

(4 + 3a)(2 + 3b)(2 + 3c)(k + 1) = 130

Теперь найдем возможные значения для a, b, c и k. Разложим 130 на множители:

130 = 2 * 5 * 13

Теперь попробуем разные комбинации:

1. Пусть k = 0. Тогда:
• (4 + 3a)(2 + 3b)(2 + 3c) = 130
2. Пусть k = 1. Тогда:
• (4 + 3a)(2 + 3b)(2 + 3c) = 65
3. Пусть k = 2. Тогда:
• (4 + 3a)(2 + 3b)(2 + 3c) = 43.33 (не подходит)
4. Пусть k = 3. Тогда:
• (4 + 3a)(2 + 3b)(2 + 3c) = 32.5 (не подходит)

Исследуем вариант с k = 0:

Пробуем a = 0:

(4)(2 + 3b)(2 + 3c) = 130

=> (2 + 3b)(2 + 3c) = 32.5 (не подходит)

Пробуем a = 1:

(7)(2 + 3b)(2 + 3c) = 130

=> (2 + 3b)(2 + 3c) = 18.57 (не подходит)

Пробуем a = 2:

(10)(2 + 3b)(2 + 3c) = 130

=> (2 + 3b)(2 + 3c) = 13 (подходит)

Теперь пробуем разные значения b и c:

Например, b = 0, c = 1:

(2)(5) = 10 (не подходит)

Теперь b = 1, c = 1:

(5)(5) = 25 (не подходит)

Теперь b = 1, c = 0:

(5)(2) = 10 (не подходит)

Теперь b = 0, c = 2:

(2)(8) = 16 (не подходит)

Теперь b = 2, c = 0:

(2)(8) = 16 (не подходит)

В итоге, наименьшее n, которое соответствует этому условию, это n = 2.

Теперь найдем количество полных квадратных делителей числа 250n⁵:

250 = 2 * 5^3

Тогда:

250n⁵ = 2^1 * 5^3 * (2^2 * 5^2 * 13^2)^5 = 2^{1 + 10} * 5^{3 + 10} * 13^{10} = 2^{11} * 5^{13} * 13^{10}

Количество полных квадратных делителей можно найти по формуле:

(floor(11/2) + 1)(floor(13/2) + 1)(floor(10/2) + 1)

Подставляем:

(5 + 1)(6 + 1)(5 + 1) = 6 * 7 * 6 = 252

Таким образом, количество положительных полных квадратных делителей числа 250n⁵ для наименьшего n, который соответствует этому условию, равно 252.