Для сигнализации об аварии используются два вида сигнализаторов А1 и А-2, каждый из которых срабатывает с вероятностями, равными соответственно 0,8 и 0,9. Вероятность того, что устройство снабжено одним из этих сигнализаторов, равна соответственно 0,6 и 0,4. Если получен сигнал об аварии, то каким образом можно определить, сигнализатором какого типа было снабжено устройство? Пожалуйста, предоставьте подробное решение.

Математика Колледж Условная вероятность и теорема Байеса вероятность сигнализаторов сигнализация об аварии математические задачи решение задач по вероятности типы сигнализаторов анализ вероятностей задача на вероятности теория вероятностей применение вероятности вероятностные модели Новый

Для решения данной задачи мы можем использовать теорему Байеса, которая позволяет находить условные вероятности. В данном случае нам нужно определить, с каким сигнализатором (А1 или А2) было снабжено устройство, если мы получили сигнал об аварии.

Обозначим события:

• A1 - устройство снабжено сигнализатором А1.
• A2 - устройство снабжено сигнализатором А2.
• S - устройство подало сигнал об аварии.

Даны следующие вероятности:

• P(A1) = 0,6 - вероятность того, что устройство снабжено сигнализатором А1.
• P(A2) = 0,4 - вероятность того, что устройство снабжено сигнализатором А2.
• P(S|A1) = 0,8 - вероятность того, что сигнализатор А1 сработает.
• P(S|A2) = 0,9 - вероятность того, что сигнализатор А2 сработает.

Теперь нам нужно найти условные вероятности P(A1|S) и P(A2|S), то есть вероятность того, что устройство снабжено сигнализатором А1 или А2, если сигнал об аварии был получен.

Сначала найдем полную вероятность получения сигнала об аварии P(S) с использованием формулы полной вероятности:

1. P(S) = P(S|A1) * P(A1) + P(S|A2) * P(A2).
2. Подставим известные значения:
3. P(S) = (0,8 * 0,6) + (0,9 * 0,4).
4. P(S) = 0,48 + 0,36 = 0,84.

Теперь мы можем использовать теорему Байеса для нахождения P(A1|S) и P(A2|S):

1. Для P(A1|S):
2. P(A1|S) = (P(S|A1) * P(A1)) / P(S).
3. Подставим значения:
4. P(A1|S) = (0,8 * 0,6) / 0,84 = 0,48 / 0,84 ≈ 0,5714.
5. Таким образом, P(A1|S) ≈ 0,5714.
6. Для P(A2|S):
7. P(A2|S) = (P(S|A2) * P(A2)) / P(S).
8. Подставим значения:
9. P(A2|S) = (0,9 * 0,4) / 0,84 = 0,36 / 0,84 ≈ 0,4286.
10. Таким образом, P(A2|S) ≈ 0,4286.

В итоге, если устройство подало сигнал об аварии, вероятность того, что оно было снабжено сигнализатором А1, составляет примерно 57,14%, а вероятность того, что оно было снабжено сигнализатором А2, составляет примерно 42,86%.