Докажите, что уравнение m в квадрате равно 2n в квадрате не имеет решений в натуральных числах.

Математика Колледж Диофантовы уравнения уравнение m в квадрате 2n в квадрате решения в натуральных числах доказательство уравнения математика 12 класс Новый

Чтобы доказать, что уравнение m в квадрате равно 2n в квадрате не имеет решений в натуральных числах, начнем с самого уравнения:

Уравнение: m² = 2n²

Мы можем переписать это уравнение в следующем виде:

m² - 2n² = 0

Теперь давайте рассмотрим возможные решения этого уравнения. Мы будем использовать метод доказательства от противного. Предположим, что существуют натуральные числа m и n, которые удовлетворяют этому уравнению.

1. Обозначим m и n как:

• m = 2k, где k – натуральное число (это значит, что m четное);
• n = l, где l – натуральное число.

2. Подставим m в уравнение:

(2k)² = 2l²

3. Раскроем скобки:

4k² = 2l²

4. Упростим уравнение:

2k² = l²

Теперь мы видим, что l² также является четным числом, что подразумевает, что l тоже должно быть четным. Следовательно, мы можем записать:

• l = 2j, где j – натуральное число.

5. Подставим l обратно в уравнение:

2k² = (2j)²

6. Раскроем скобки:

2k² = 4j²

7. Упростим уравнение:

k² = 2j²

Теперь мы видим, что k² также является четным, что подразумевает, что k тоже четное.

8. Мы можем продолжать этот процесс, показывая, что m, n, k, l и так далее, все четные, что приведет нас к бесконечной цепочке четных чисел, что противоречит определению натуральных чисел (которые не могут быть бесконечно делимыми на 2). Это значит, что у нас нет натуральных чисел m и n, удовлетворяющих исходному уравнению.

Таким образом, мы пришли к противоречию, и наше предположение о существовании натуральных решений было неверным.

Вывод: Уравнение m² = 2n² не имеет решений в натуральных числах.