Похожие вопросы
2025-09-16 02:30:23
Используйте правило нахождения производной сложной функции, чтобы найти все частные производные функции:
f(x,y)=e^x*tan y+e^{-y}*arctan x, где x = t² и y = 2t.
Математика Колледж Частные производные и производные сложной функции производная сложной функции частные производные математика 12 функция f(x,y) правило нахождения производной e^x tan y e^{-y} arctan x x=t² y=2t
2025-09-16 02:30:34
Для нахождения частных производных функции f(x, y) = e^x * tan(y) + e^{-y} * arctan(x) по переменным x и y, а также для переменных t, нам нужно использовать правило цепочки. Давайте сначала найдем частные производные по x и y, а затем выразим их через t.
Шаг 1: Нахождение частных производных по x и yСначала найдем частную производную f по x:
- f(x, y) = e^x * tan(y) + e^{-y} * arctan(x)
- Частная производная по x:
- Используем правило произведения и производные элементарных функций:
- ∂f/∂x = e^x * tan(y) + e^{-y} * (1/(1+x^2))
Теперь найдем частную производную f по y:
- Частная производная по y:
- ∂f/∂y = e^x * (sec^2(y)) * (∂(tan(y))/∂y) - e^{-y} * arctan(x)
- Здесь мы используем производную tan(y), которая равна sec^2(y).
- Таким образом, получаем: ∂f/∂y = e^x * sec^2(y) - e^{-y} * arctan(x)
Теперь, когда мы нашли частные производные, подставим x и y через t:
- x = t²
- y = 2t
Теперь мы можем выразить частные производные через t:
- ∂f/∂x при подстановке x = t² и y = 2t:
- ∂f/∂x = e^(t²) * tan(2t) + e^{-2t} * (1/(1+(t²)^2))
- ∂f/∂y при подстановке x = t² и y = 2t:
- ∂f/∂y = e^(t²) * sec²(2t) - e^{-2t} * arctan(t²)
Таким образом, мы нашли частные производные функции f по переменным x и y и выразили их через t. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!