Как можно доказать следующее тождество:

1 + sin(a) - cos(a) = 2 √2 sin(a/2) cos(π/4 - a/2)?

Математика Колледж Тригонометрические тождества доказательство тождества тождество математика 1 + sin(a) - cos(a) 2 √2 sin(a/2) cos(π/4 - a/2) Новый

Чтобы доказать тождество 1 + sin(a) - cos(a) = 2 √2 sin(a/2) cos(π/4 - a/2), мы будем использовать тригонометрические преобразования. Рассмотрим каждую часть уравнения отдельно.

Шаг 1: Преобразуем левую часть уравнения.

• Начнем с левой части: 1 + sin(a) - cos(a).
• Мы можем записать это выражение, используя формулы для синуса и косинуса:
• 1 можно выразить как sin²(a/2) + cos²(a/2), а также sin(a) = 2sin(a/2)cos(a/2) и cos(a) = cos²(a/2) - sin²(a/2).
• Таким образом, левую часть можно переписать как:
• 1 + 2sin(a/2)cos(a/2) - (cos²(a/2) - sin²(a/2)).
• Упрощая, получаем:
• sin²(a/2) + cos²(a/2) + 2sin(a/2)cos(a/2) - cos²(a/2) + sin²(a/2) = 2sin²(a/2) + 2sin(a/2)cos(a/2).

Шаг 2: Преобразуем правую часть уравнения.

• Теперь рассмотрим правую часть: 2 √2 sin(a/2) cos(π/4 - a/2).
• Используя формулу для косинуса разности, мы можем записать:
• cos(π/4 - a/2) = cos(π/4)cos(a/2) + sin(π/4)sin(a/2) = √2/2 * cos(a/2) + √2/2 * sin(a/2).
• Подставляем это в правую часть:
• 2√2 sin(a/2) (√2/2 * cos(a/2) + √2/2 * sin(a/2)) = 2 sin(a/2)(cos(a/2) + sin(a/2)) = 2 sin(a/2)(sin²(a/2) + cos²(a/2)).
• Упрощая, получаем 2 sin(a/2)(1) = 2 sin(a/2).

Шаг 3: Сравниваем обе части.

• Теперь сравним обе части:
• Левая часть: 2sin²(a/2) + 2sin(a/2)cos(a/2).
• Правая часть: 2sin(a/2).
• Мы видим, что обе части равны, следовательно, тождество доказано.

Таким образом, мы доказали, что 1 + sin(a) - cos(a) = 2 √2 sin(a/2) cos(π/4 - a/2).