Как можно использовать правило Лопиталя для нахождения предела выражения: (3-2/(cos(x)))^(csc^2(x))?

Математика Колледж Правило Лопиталя и пределы правило Лопиталя предел выражения математика 12 нахождение предела csc^2(x) cos(x) Новый

Чтобы использовать правило Лопиталя для нахождения предела выражения (3 - 2/cos(x))^(csc^2(x)), сначала нужно выяснить, в каком виде находится предел. Рассмотрим его подробнее.

Для начала, давайте запишем предел:

lim (x -> 0) (3 - 2/cos(x))^(csc^2(x)).

Теперь определим, что происходит с выражением при x, стремящемся к 0:

• cos(0) = 1, следовательно, 2/cos(x) стремится к 2.
• Таким образом, 3 - 2/cos(x) стремится к 1.
• csc^2(x) = 1/sin^2(x) стремится к бесконечности, так как sin(0) = 0.

Итак, мы имеем форму 1^∞, что позволяет нам использовать логарифмическое преобразование для упрощения вычисления предела:

Обозначим y = (3 - 2/cos(x))^(csc^2(x)). Тогда берем натуральный логарифм:

ln(y) = csc^2(x) * ln(3 - 2/cos(x)).

Теперь нам нужно найти предел ln(y) при x стремящемся к 0:

lim (x -> 0) ln(y) = lim (x -> 0) csc^2(x) * ln(3 - 2/cos(x)).

Подставим csc^2(x) = 1/sin^2(x):

lim (x -> 0) (1/sin^2(x)) * ln(3 - 2/cos(x)).

Теперь мы видим, что при x стремящемся к 0, sin^2(x) стремится к 0, а ln(3 - 2/cos(x)) стремится к ln(1) = 0. Таким образом, мы имеем форму 0/0, что позволяет применить правило Лопиталя.

Теперь применим правило Лопиталя:

1. Найдем производную числителя и знаменателя:
• Числитель: ln(3 - 2/cos(x))' = (1/(3 - 2/cos(x))) * (2sin(x)/cos^2(x)) = (2sin(x))/(cos^2(x)(3 - 2/cos(x))).
• Знаменатель: (sin^2(x))' = 2sin(x)cos(x).
2. Теперь применяем правило Лопиталя:

lim (x -> 0) (2sin(x)/(cos^2(x)(3 - 2/cos(x)))) / (2sin(x)cos(x)).

3. Сократим 2sin(x):

lim (x -> 0) (1/(cos^2(x)(3 - 2/cos(x)))) / cos(x).

4. Теперь подставим x = 0:

При x = 0, cos(0) = 1, и 3 - 2/cos(0) = 1. Получаем:

lim (x -> 0) 1/(1*(1)) = 1.

Таким образом, мы нашли, что:

lim (x -> 0) ln(y) = 1.

Теперь вернемся к y:

Так как y = e^(lim (x -> 0) ln(y)), то:

lim (x -> 0) y = e^1 = e.

Итак, предел выражения (3 - 2/cos(x))^(csc^2(x)) при x стремящемся к 0 равен e.