Как можно исследовать функцию f(x)=-2x^3+3x^2+12x с помощью производной?

Математика Колледж Исследование функции с помощью производной исследование функции производная F(x)=-2x^3+3x^2+12x анализ функции математика 12 класс Новый

Чтобы исследовать функцию f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x с помощью производной, мы будем следовать нескольким шагам. Эти шаги помогут нам найти критические точки, определить интервалы возрастания и убывания функции, а также исследовать ее экстремумы и точки перегиба.

1. Найдем производную функции f(x).

Для этого воспользуемся правилом дифференцирования. Производная функции f(x) будет:

• f'(x) = d/dx(-2x^3) + d/dx(3x^2) + d/dx(12x)
• f'(x) = -6x^2 + 6x + 12
2. Найдем критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для нахождения критических точек решим уравнение:

• -6x^2 + 6x + 12 = 0

Упростим это уравнение, разделив обе стороны на -6:

• x^2 - x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

• x = (1 ± √(1^2 - 4*1*(-2))) / (2*1)
• x = (1 ± √(1 + 8)) / 2
• x = (1 ± 3) / 2

Таким образом, получаем два корня:

• x1 = 2
• x2 = -1
3. Определим интервалы возрастания и убывания.

Теперь мы можем исследовать знак производной на интервалах, которые определяются критическими точками:

• Интервал 1: (-∞, -1)
• Интервал 2: (-1, 2)
• Интервал 3: (2, +∞)

Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в f'(x):

• Для интервала (-∞, -1), например, x = -2: f'(-2) = -6*(-2)^2 + 6*(-2) + 12 = -24 - 12 + 12 = -24 (отрицательно)
• Для интервала (-1, 2), например, x = 0: f'(0) = -6*(0)^2 + 6*(0) + 12 = 12 (положительно)
• Для интервала (2, +∞), например, x = 3: f'(3) = -6*(3)^2 + 6*(3) + 12 = -54 + 18 + 12 = -24 (отрицательно)

Таким образом, функция:

• Убывает на интервале (-∞, -1)
• Возрастает на интервале (-1, 2)
• Убывает на интервале (2, +∞)
4. Определим экстремумы.

На основе полученных данных можно сделать вывод:

• В точке x = -1 функция имеет минимум, так как она меняет знак производной с отрицательного на положительный.
• В точке x = 2 функция имеет максимум, так как она меняет знак производной с положительного на отрицательный.
5. Исследуем точки перегиба.

Теперь найдем вторую производную:

• f''(x) = d/dx(-6x^2 + 6x + 12) = -12x + 6

Чтобы найти точки перегиба, решим уравнение f''(x) = 0:

• -12x + 6 = 0
• 12x = 6
• x = 0.5

Теперь проверим знак второй производной на интервалах, определяемых точкой x = 0.5:

• Для x < 0.5, например, x = 0: f''(0) = 6 (положительно)
• Для x > 0.5, например, x = 1: f''(1) = -6 (отрицательно)

Таким образом, в точке x = 0.5 функция имеет точку перегиба.

В итоге, мы исследовали функцию f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x, нашли ее критические точки, определили интервалы возрастания и убывания, а также исследовали экстремумы и точку перегиба.