Как можно найти градиент функции z=x^3 y^2-xy 4 в точке М(2;1)?

Математика Колледж Градиенты и производные функций нескольких переменных градиент функции математика 12 класс задача на градиент частные производные точка М(2;1) Новый

Чтобы найти градиент функции z = x^3 y^2 - xy^4 в точке М(2;1), нужно выполнить несколько шагов. Градиент функции - это вектор, состоящий из частных производных функции по всем переменным. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

1. Найдем частные производные функции:
• Частная производная по x:

  Для нахождения частной производной функции z по переменной x, мы будем рассматривать y как константу. Используем правило дифференцирования:

  dz/dx = 3x^2 y^2 - y^4.

• Частная производная по y:

  Теперь найдем частную производную функции z по переменной y, рассматривая x как константу:

  dz/dy = 2x^3 y - 4xy^3.

2. Подставим координаты точки M(2;1) в найденные производные:
• Для частной производной по x:

dz/dx в точке (2, 1) = 3(2^2)(1^2) - (1^4) = 3(4)(1) - 1 = 12 - 1 = 11.

• Для частной производной по y:

dz/dy в точке (2, 1) = 2(2^3)(1) - 4(2)(1^3) = 2(8)(1) - 4(2)(1) = 16 - 8 = 8.

3. Запишем градиент:

Градиент функции в точке M(2;1) будет равен вектору, состоящему из частных производных:

∇z = (dz/dx, dz/dy) = (11, 8).

Таким образом, градиент функции z = x^3 y^2 - xy^4 в точке M(2;1) равен вектору (11, 8).