Как можно определить мнимую и действительную часть функции w=z^2*e^z?

Математика Колледж Комплексные числа и функции комплексного переменного мнимая часть функции действительная часть функции w=z^2*e^z определение мнимой части определение действительной части Новый

Чтобы определить мнимую и действительную части функции w = z^2 * e^z, где z — это комплексное число, давайте разобьем z на действительную и мнимую части. Обозначим z как z = x + iy, где x — действительная часть, а y — мнимая часть.

Теперь подставим z в нашу функцию:

w = (x + iy)^2 * e^(x + iy).

Далее, давайте разберем каждый из множителей по отдельности.

1. Вычислим z^2:

1. (x + iy)^2 = x^2 + 2xyi + (iy)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi.

Таким образом, z^2 = (x^2 - y^2) + (2xy)i.

2. Вычислим e^z:

1. e^(x + iy) = e^x * e^(iy).
2. Согласно формуле Эйлера, e^(iy) = cos(y) + i*sin(y).
3. Следовательно, e^z = e^x * (cos(y) + i*sin(y)) = e^x * cos(y) + i*e^x * sin(y).

Теперь мы можем объединить оба результата:

3. Подставим результаты в w:

1. w = [(x^2 - y^2) + (2xy)i] * [e^x * cos(y) + i*e^x * sin(y)].

Теперь умножим два сложных числа:

w = (x^2 - y^2)e^x * cos(y) + (x^2 - y^2)i*e^x * sin(y) + (2xy)e^x * cos(y)i - (2xy)e^x * sin(y).

Соберем действительную и мнимую части:

4. Действительная часть:

• Re(w) = (x^2 - y^2)e^x * cos(y) - (2xy)e^x * sin(y).

5. Мнимая часть:

• Im(w) = (x^2 - y^2)e^x * sin(y) + (2xy)e^x * cos(y).

Таким образом, мы определили действительную и мнимую части функции w = z^2 * e^z:

• Действительная часть: Re(w) = (x^2 - y^2)e^x * cos(y) - (2xy)e^x * sin(y).
• Мнимая часть: Im(w) = (x^2 - y^2)e^x * sin(y) + (2xy)e^x * cos(y).