Как можно определить ранги следующих матриц и указать для каждой какой-либо базисный минор:

1. A =
   • 1 2 3 4
   • 2 4 6 8
   • 3 6 9 12
   • 4 3 2 2
2. B =
   • 0 2 1 1
   • 0 0 3 3

Математика Колледж Ранги матриц и миноры ранг матрицы базисный минор определение ранга матрицы математика линейная алгебра Новый

Чтобы определить ранг матрицы, мы можем использовать метод приведения матрицы к ступенчатому виду или к каноническому виду. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в этом виде. Рассмотрим каждую матрицу по отдельности.

Матрица A:

Матрица A выглядит следующим образом:

• 1 2 3 4
• 2 4 6 8
• 3 6 9 12
• 4 3 2 2

Шаг 1: Приведем матрицу A к ступенчатому виду.

Мы можем начать с вычитания первых строк из остальных:

• Вторая строка: 2 - 2 * 1 = 0, 4 - 2 * 2 = 0, 6 - 2 * 3 = 0, 8 - 2 * 4 = 0 (вторая строка становится нулевой).
• Третья строка: 3 - 3 * 1 = 0, 6 - 3 * 2 = 0, 9 - 3 * 3 = 0, 12 - 3 * 4 = 0 (третья строка также становится нулевой).
• Четвертая строка: 4 - 4 * 1 = 0, 3 - 4 * 2 = -5, 2 - 4 * 3 = -10, 2 - 4 * 4 = -14 (четвертая строка остается).

Теперь у нас есть:

• 1 2 3 4
• 0 0 0 0
• 0 0 0 0
• 0 -5 -10 -14

Шаг 2: Приведем четвертую строку к более простому виду. Мы можем поделить её на -5:

• 1 2 3 4
• 0 0 0 0
• 0 0 0 0
• 0 1 2 2.8

Теперь мы видим, что у нас есть 2 ненулевые строки. Следовательно, ранг матрицы A равен 2.

Базисный минор: Мы можем взять минор, состоящий из первых двух строк и первых двух столбцов:

• 1 2
• 2 4

Этот минор равен 0, что подтверждает, что ранг меньше 2, но мы видим, что ранг равен 2, так как есть две ненулевые строки.

Матрица B:

Матрица B выглядит следующим образом:

• 0 2 1 1
• 0 0 3 3

Шаг 1: Приведем матрицу B к ступенчатому виду.

Здесь мы видим, что первая строка имеет нулевую первую компоненту. Мы можем оставить её как есть, так как вторая строка уже в нужном виде:

• 0 2 1 1
• 0 0 3 3

Шаг 2: Мы видим, что у нас есть 2 ненулевые строки. Следовательно, ранг матрицы B равен 2.

Базисный минор: Мы можем взять минор, состоящий из первой строки и второй строки, а также первых двух столбцов:

• 2 1
• 0 3

Этот минор равен 2 * 3 - 0 * 1 = 6, что подтверждает, что ранг равен 2.

Итак, итоговые результаты:

• Ранг матрицы A: 2
• Базисный минор для A: 1 2; 2 4 (равен 0, но ранг 2)
• Ранг матрицы B: 2
• Базисный минор для B: 2 1; 0 3 (равен 6)