Как можно определить уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0, y0, z0), если S описывается уравнением x^2 + y^2 - z^2 - xy + 3z = 7, а точка M0 имеет координаты (1, 2, 1)?

Математика Колледж Касательные и нормали к поверхностям в пространстве уравнение касательной плоскости нормаль к поверхности координаты точки M0 поверхность S математические уравнения определение касательной задачи по математике анализ поверхности Новый

Для определения уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем градиент функции

Сначала мы должны определить функцию, описывающую поверхность S. В данном случае, это:

F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z^2 - xy + 3z - 7 = 0.

Градиент функции F, обозначаемый ∇F, будет содержать частные производные по x, y и z:

• ∂F/∂x = 2x - y,
• ∂F/∂y = 2y - x,
• ∂F/∂z = -2z + 3.

Шаг 2: Вычислим градиент в точке M0(1, 2, 1)

Подставим координаты точки M0 в градиент:

• ∂F/∂x = 2(1) - 2 = 0,
• ∂F/∂y = 2(2) - 1 = 3,
• ∂F/∂z = -2(1) + 3 = 1.

Таким образом, градиент в точке M0 равен:

∇F(1, 2, 1) = (0, 3, 1).

Шаг 3: Уравнение касательной плоскости

Уравнение касательной плоскости можно записать в виде:

0(x - x0) + 3(y - y0) + 1(z - z0) = 0.

Подставим координаты точки M0(1, 2, 1):

0(x - 1) + 3(y - 2) + 1(z - 1) = 0.

Упрощая, получаем:

3(y - 2) + (z - 1) = 0,

или

3y + z - 7 = 0.

Шаг 4: Уравнение нормали

Уравнение нормали можно записать в параметрической форме, используя вектор градиента:

(x, y, z) = (1, 2, 1) + t(0, 3, 1), где t - параметр.

Это уравнение можно записать в виде:

• x = 1,
• y = 2 + 3t,
• z = 1 + t.

Таким образом, у нас есть уравнение касательной плоскости:

3y + z - 7 = 0

и уравнение нормали в параметрической форме:

• x = 1,
• y = 2 + 3t,
• z = 1 + t.