Как можно показать, что интеграл от корня из (1 - x^2) по dx равен 1/2 * x * корень из (1 - x^2) плюс 1/2 интеграл от 1 / корень из (1 - x^2) по dx, применяя метод интегрирования по частям?

Математика Колледж Интегрирование по частям интеграл от корня из (1 - x^2) интегрирование по частям метод интегрирования математический анализ вычисление интегралов интеграл от функции свойства интегралов Новый

Чтобы показать, что интеграл от корня из (1 - x^2) по dx равен 1/2 * x * корень из (1 - x^2) плюс 1/2 интеграл от 1 / корень из (1 - x^2) по dx, мы воспользуемся методом интегрирования по частям. Давайте рассмотрим шаги этого процесса.

1. Выбор функций для интегрирования по частям:

   Метод интегрирования по частям основан на формуле:

   ∫u dv = uv - ∫v du

   В нашем случае мы можем выбрать:

   • u = корень из (1 - x^2)
   • dv = dx
2. Нахождение производной и интеграла:

   Теперь найдем du и v:

   • Чтобы найти du, мы используем правило производной:
   • du = (1/(2 * корень из (1 - x^2))) * (-2x) dx = -x / корень из (1 - x^2) dx
   • Интегрируем dv, чтобы найти v:
   • v = ∫dx = x
3. Подстановка в формулу интегрирования по частям:

   Теперь подставим все найденные значения в формулу:

   ∫корень из (1 - x^2) dx = x * корень из (1 - x^2) - ∫x * (-x / корень из (1 - x^2)) dx

   Это упростится до:

   ∫корень из (1 - x^2) dx = x * корень из (1 - x^2) + ∫(x^2 / корень из (1 - x^2)) dx

4. Упрощение второго интеграла:

   Теперь давайте упростим второй интеграл:

   ∫(x^2 / корень из (1 - x^2)) dx = ∫(1 - (1 - x^2) / корень из (1 - x^2)) dx

   Это можно записать как:

   ∫(1 / корень из (1 - x^2)) dx - ∫(1 - x^2) dx

5. Собираем всё вместе:

   Теперь мы можем собрать всё вместе:

   ∫корень из (1 - x^2) dx = x * корень из (1 - x^2) + 1/2 * ∫(1 / корень из (1 - x^2)) dx

   Таким образом, мы получили нужное нам равенство:

   ∫корень из (1 - x^2) dx = 1/2 * x * корень из (1 - x^2) + 1/2 * ∫(1 / корень из (1 - x^2)) dx

Таким образом, мы успешно применили метод интегрирования по частям и показали, что интеграл от корня из (1 - x^2) по dx равен 1/2 * x * корень из (1 - x^2) плюс 1/2 интеграл от 1 / корень из (1 - x^2) по dx.