Как можно разложить на множители n^4 + 4?

Математика Колледж Разложение многочленов на множители разложение на множители n^4 + 4 математика 12 класс алгебра теорема о разложении многочлены факторизация методы разложения Новый

Чтобы разложить на множители выражение n^4 + 4, мы можем использовать метод разложения, известный как разложение суммы квадратов. Сначала заметим, что 4 можно представить как 2^2. Таким образом, мы можем переписать выражение следующим образом:

n^4 + 4 = n^4 + 4 * 1^2

Теперь мы можем воспользоваться формулой, которая гласит, что a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi), где i - мнимая единица. Однако в нашем случае мы можем использовать специальное разложение:

n^4 + 4 = n^4 + 4n^2 + 4 - 4n^2

Теперь это можно представить как:

(n^4 + 4n^2 + 4) - 4n^2

Это выражение можно разложить как квадрат суммы:

(n^2 + 2)^2 - (2n)^2

Теперь это выражение можно рассматривать как разность квадратов:

A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)

Где A = n^2 + 2 и B = 2n. Подставим это в формулу:

(n^2 + 2 + 2n)(n^2 + 2 - 2n)

Теперь можем упростить каждую часть:

• n^2 + 2 + 2n = n^2 + 2n + 2
• n^2 + 2 - 2n = n^2 - 2n + 2

Таким образом, окончательное разложение на множители выражения n^4 + 4 будет выглядеть так:

(n^2 + 2n + 2)(n^2 - 2n + 2)

Это и есть искомое разложение на множители.