Как можно решить биквадратное уравнение, используя метод Ньютона-Рафсона? Приведите пример решения.

Математика Колледж Биквадратные уравнения биквадратное уравнение метод Ньютона-Рафсона решение примера математика 12 класс численные методы уравнения алгебраические уравнения Новый

Биквадратное уравнение имеет вид:

ax^4 + bx^2 + c = 0

Для решения такого уравнения с помощью метода Ньютона-Рафсона, сначала нужно преобразовать его в уравнение второго порядка. Для этого мы делаем замену:

y = x^2

Тогда уравнение примет вид:

ay^2 + by + c = 0

Теперь мы можем решать это уравнение, но мы будем использовать метод Ньютона-Рафсона для нахождения корней.

Шаги решения:

1. Сначала найдем производную функции:

Нам нужно выразить функцию, которую мы будем исследовать. Это будет:

f(y) = ay^2 + by + c

Ее производная:

f'(y) = 2ay + b

2. Выберем начальное приближение:

Выберите начальное значение y0. Например, пусть y0 = 1.

3. Применим метод Ньютона-Рафсона:

Формула метода Ньютона-Рафсона выглядит так:

y_{n+1} = y_n - f(y_n) / f'(y_n)

4. Подставим значения в формулу:

Вычислим f(y0) и f'(y0):

• f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c
• f'(1) = 2a(1) + b = 2a + b

Теперь подставим в формулу:

y1 = y0 - (a + b + c) / (2a + b)

5. Повторяем шаги, пока не достигнем нужной точности:

Продолжаем итерации, подставляя новое значение y1 обратно в формулу, пока разность между y_n и y_{n+1} не станет достаточно малой.

6. После нахождения корней y, вернемся к x:

Не забудьте, что y = x^2, поэтому для нахождения x нужно взять корень из найденного y:

x = ±√y

Пример:

Рассмотрим биквадратное уравнение:

y^2 - 5y + 6 = 0

Здесь a = 1, b = -5, c = 6.

1. Вычисляем производную:

f(y) = y^2 - 5y + 6, f'(y) = 2y - 5

2. Начальное приближение:

y0 = 1

3. Применяем метод Ньютона-Рафсона:

f(1) = 1 - 5 + 6 = 2

f'(1) = 2(1) - 5 = -3

y1 = 1 - 2 / -3 = 1 + 2/3 = 1.67

4. Продолжаем итерации, пока не достигнем нужной точности.

5. После нахождения y, возвращаемся к x:

x = ±√y.

Таким образом, мы можем использовать метод Ньютона-Рафсона для нахождения корней биквадратного уравнения. Этот метод позволяет добиться высокой точности при достаточно небольшом числе итераций.